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Potenzrechnung

Potenzrechnung und Potenzgesetze Einführung

Das Potenzieren (von lat. potentia, „Vermögen, Macht“, als Lehnübersetzung aus gr. δύναμις, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung ‚Quadrat‘ hatte), ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert.
Quelle: Wikipedia Potenz (Mathematik)

Rechenoperationen der Potenzrechnung, Potenzgesetze

Multiplikation

Beispiel 1
Die Zahl  8 soll fünfmal mit sich selbst multipliziert werden. Wir schreiben:
     8⋅8⋅8⋅8⋅8
In abgekürzter Schreibweise dürfen wir schreiben:
     85
In diesem Beispiel wird die Zahl 8 als Basis oder Grundzahl bezeichnet, die Zahl 5 heißt Exponent oder Hochzahl. Der Ausdruck 85 wird „acht hoch fünf“ gesprochen. Das Ergebnis der Rechnung nennen wir den Wert der Potenz.
Nun dürfen wir als Basis auch eine Variable (a, b, c…usw.) oder eine Unbekannte (x, y) wählen. Als Variable für den Exponenten verwenden wir jedoch ausschließlich den Buchstaben n. Die allgemeine Form einer Potenz wird also durch an ausgedrückt.
Merksatz
Einen Ausdruck der Form an bezeichnen wir als Potenz. a heißt Grundzahl oder Basis, n heißt Hochzahl oder Exponent.

Wir sprechen diese Rechenoperation als „a hoch n„ oder „a zur n–ten Potenz“ oder kurz „a zur n–ten“. Im Fall n=2 ist auch „a (zum) Quadrat“ und im Fall n=3 auch „a (zum) Kubik“ üblich.

Division

Beispiel 2
Die Zahl 1 soll fünfmal durch die Zahl 8 dividiert werden. Wir schreiben:
     
In abgekürzter Schreibweise dürfen wir schreiben:
    
Im Nenner steht eine Potenz mit der Basis 8 und dem Exponenten 5. Dieser Ausdruck wird "eins (geteilt) durch acht hoch fünf" gesprochen.
Nun ist der Mathematiker von zuhause aus ein fauler Mensch und mag nicht  schreiben, weil  schneller zu schreiben geht. Wir haben es also mit einem negativen Exponenten zu tun.
Merksatz
Negative Hochzahlen bedeuten, dass man die zur Multiplikation inverse Operation = Division durchführen soll. Also „Dividiere die Zahl 1 durch die Basis so oft, wie der Exponent angibt.“

Die Zahl '0' als Exponent

Beispiel 3
Die Zahl 7 soll nullmal mit sich selbst multipliziert werden. Wir schreiben:
      ???????????????????????????????? ja, was schreiben wir?
Wir schreiben zunächst einmal 7=1⋅7. Und jetzt multiplizieren wir einfach die 1 mit  0-mal der 7, also die 7 überhaupt nicht mit sich selbst. Was ergibt das nun? Eine 1.
Merksatz
Wird eine Basis a null mal mit sich selbst multipliziert, so ist das Ergebnis 1.
a0=1 für a ≠ 0
Die Einschränkung a ≠ 0 ist hier erforderlich, da 00 mathematisch nicht definiert ist.

Potenzierung von Potenzen

Beispiel 4
Die Zahl 62 soll 4-mal mit sich selbst multipliziert werden. Wir schreiben:
     62⋅62⋅62⋅62=(62)4=(6⋅6)⋅(6⋅6)⋅(6⋅6)⋅(6⋅6)=68
In abgekürzter Schreibweise dürfen wir schreiben:
      (62)4=68
In diesem Beispiel gilt die Zahl 62 als Basis und die Zahl 4 ist der Exponent. Die 62 wird viermal mit sich selbst multipliziert.
Wir erkennen am Beispiel, dass hier die Basis 6 beibehalten wurde und lediglich die beiden Exponenten 2 und 4 mit einander multipliziert wurden.
Merksatz
Die Basis a einer Potenz kann selbst eine Potenz sein, z. B. bn.

In diesem Falle sprechen wir von der Potenzierung einer Potenz.

Potenzen mit rationalen Exponenten

Beispiel 5
Die Zahl 5 soll 2,5-mal mit sich selbst multipliziert werden. Wir schreiben:
      52,5. Aber, was rechnen wir?
Zunächst rechnen wir die 2,5 in einen Bruch um. . Dies ist eine rationale Zahl mit im Zähler und im Nenner. Nun gilt:
     .
Ist der Exponent eine rationale Zahl mit  im Zähler und im Nenner, so ist m der Exponent der Basis und n der Wurzelexponent der Wurzelbasis hoch m.
Merksatz
Sei q eine rationale Zahl und mit ihre gekürzte Bruchdarstellung. Für beliebige reelle a>0 definieren wir
Für beliebige reelle a < 0 definieren wir:

Für n gerade ist nicht definiert.
Für n ungerade ist .
Diese Operationen der Potenzrechnung führen uns zu den einzelnen Potenzgesetzen. Diese regeln im Allgemeinen, wie Potenzen untereinander berechnet werden. Für Potenzen gibt es nur Regeln für
die Multiplikation,
die Division und das
Potenzieren von Potenzen.
Dies rührt daher, weil Potenzen selbst eine verkürzte Schreibweise von Multiplikationen und/oder Divisionen sind. Deshalb gibt es nur vier Potenzgesetze und zwar:

Die Potenzgesetze

1. Potenzgesetz

Beispiel 6
     x⋅x⋅x⋅x=x4
     y2⋅y3=y5
     an⋅am=an+m
Wie du aus den Beispielen erkennst, ist die Basis der Rechenoperation immer dieselbe, sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung. Die Basis wird also beibehaltern und im Ergebnis stellst du fest, dass die Hochzahlen einfach nur addiert wurden. Bei y2⋅y3=y5 wurden lediglich die Hochzahlen 2 und 3 addiert. Bei an⋅am=an+m wurden die Hochzahlen n und m addiert.
Jetzt fragst du dich, im Beispiel  x⋅x⋅x⋅x=x4 sind ja gar keine Hochzahlen da. Nun, dies ist wiederum der Faulheit der Mathematiker zuzuschreiben, denn alles, was die nicht schreiben müssen, schreiben die auch nicht hin. In Gedanken hat jede Zahl oder jede Variable die Hochzahl 1. Man hätte also auch schreiben können x1⋅x1⋅x1⋅x1. Aber wie bereits erwähnt, Mathematiker sind faule Leute. Somit kommen wir zur ersten Potenzregel:
1. Potenzgesetz
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Hochzahlen addiert. Es gilt:
prpspt = pr+s+t

2. Potenzgesetz

Beispiel 7
      x4:x3=x           bzw.   
      y2:y3=y-1        bzw.   
      an:am=an-m    bzw.   
Wie du aus den Beispielen erkennst, ist die Basis der Rechenoperation immer dieselbe, sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung. Die Basis wird also beibehalten und im Ergebnis stellst du fest, dass die Hochzahlen einfach nur subtrahiert wurden. Bei y2:y3 wurden lediglich die Hochzahlen 2 und 3 subtrahiert. Bei an:am wurden die Hochzahlen n und m voneinader subtrahiert. Somit kommen wir zur zweiten Potenzregel:
2. Potenzgesetz
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Hochzahlen subtrahiert. Es gilt:
pr : ps : pt = pr-s-t

3. Potenzgesetz

Beispiel 8
     
     
     
Wie du aus den Beispielen erkennst, wird hier eine Potenz potenziert. Im Ergebnis stellst du fest, dass die Hochzahlen jetzt multipliziert wurden. Bei wurden lediglich die Hochzahlen 2 und 3 multipliziert. Bei wurden die Hochzahlen -1 und -4 multipliziert und bei waren es die Hochzahlen n  und m. Somit kommen wir zur dritten Potenzregel:
3. Potenzgesetz
Potenzen werden potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert. Es gilt:
((Pr)s)t = pr⋅s⋅t

4. Potenzgesetz

Beispiel 9
      23⋅33=(2⋅3)3=63
      y4⋅z4=(y⋅z)4 
    
Wie du aus den Beispielen erkennst, ist hier der Exponent der Potenz immer gleich, jedoch hat die Basis jeweils einen anderen Wert. In diesem Fall dürfen wir die Multiplikation/Division der beiden Basiszahlen in eine Klammer schreiben und den Exponenten auf die Klammer anwenden. Dies führt uns zur vierten Potenzregel:
4. Potenzgesetz
Potenzen mit gleichem Exponenten und unterschiedlicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die Basis miteinander multipliziert / dividiert und den Exponenten beibehält. Es gilt:
an⋅bn=(a⋅b)n bzw.
an:bn =(a/b)n
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