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Die Analysis als mathematisches Teilgebiet

Die Analysis (griechisch ανάλυσις análysis „Auflösung“, altgr. ἀναλύειν analýein „auflösen“) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung. Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Zielmenge in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Neben der Differenzial- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen, die Variationsrechnung, die Vektoranalysis, die Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis. Eine ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie in der Analysis. So kann die Fragestellung, welche Funktionen die Cauchy-Riemannschen-Differenzial-gleichungen erfüllen, als Fragestellung der Theorie partieller Differenzialgleichungen verstanden werden. Deshalb werden die Grundlagen der Funktionentheorie auch als komplexe Analysis bezeichnet.

Im weiteren Sinne können auch die Gebiete der harmonischen Analysis, der Differenzialgeometrie mit den Teilgebieten Differenzialtopologie und Globale Analysis, der analytischen Zahlentheorie, der Nichtstandardanalysis, der Distributionen-Theorie und der mikrolokalen Analysis dazu gezählt werden. Diese Theorien haben jedoch eigenständige Fragestellungen, verwenden aber auch Methoden aus der Analysis.

Von den aufgeführten Teilgebieten behandeln wir in diesem Portal (vorläufig) lediglich die beiden Hauptgebiete Differenzialrechnung und Integralrechnung.
Quelle: WIKIPEDA Analysis
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