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WIKI Geraden im R2 der analytischen Geometrie - Vektorgeometrie |
- Einführung Geradengleichungen im R2
- Verschiedene Formen der Geradengleichung
- Operationen mit Geradengleichungen im R2
- Aufstellen von Geradengleichungen
- Umwandlung zwischen Darstellungsformen
- Besondere Lage von Punkten und Geraden
1. Einführung Geradengleichungen im R2
Die Vektorgeometrie im  bietet ein präzises und elegantes Werkzeug, um geometrische Objekte wie Punkte, Geraden und deren Beziehungen zu analysieren und zu beschreiben. Geraden im zweidimensionalen Raum können dabei durch verschiedene mathematische Darstellungsformen beschrieben werden, die sowohl geometrische als auch algebraische Aspekte vereinen. |
2. Verschiedene Formen der Geradengleichung
2.1. Parameterform der Geraden
| Eine zentrale Darstellung einer Geraden im ist die Parameterform, die die Gerade durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschreibt: |
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mit  als Aufpunkt / Stützvektor und  als Richtungsvektor. Der Stützvektor gibt dabei einen festen Punkt auf der Geraden an, während der Richtungsvektor die Richtung der Geraden beschreibt. Der Parameter r erlaubt es, jeden Punkt der Geraden zu bestimmen. |
| Vorstehende Animation verdeutlicht das Verhalten der Geradengleichung bei Veränderung des Parameters r. Je nach Größe dieses Parameters kann jeder einzelne Punkt der Geraden angesteuert werden. Die Animation lässt sich durch Klicks auf die Schaltflächen „Start“, „Pause“, „Weiter“ und „Stopp“ beeinflussen. |
2.2. Normalenform der Geraden
Eine weitere Darstellung einer Geraden im ist die Normalenform, die die Gerade durch einen Ortsvektor und einen Normalenvektor beschreibt. Ist  der Normalenvektor, der senkrecht (orthogonal) zur Geraden steht, so stellt sich die Normalenform wie folgt dar: |
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mit  als jedem Punkt der Geraden und  als Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden. |
2.3. Koordinatenform der Geraden
Direkt aus der Normelanform leitet sich Koordinatenform der Geraden durch Bildung der Skalarprodukte aus Normalenvektor und den Punktvektoren  und der Geraden ab: |
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bei der  die Komponenten des Normalenvektors sind und c die reelle Zahl ist, die sich aus der Skalarmultiplikation von und aus der Normalenform ergibt.Diese Darstellung bietet eine direkte algebraische Beziehung zwischen den Koordinaten x und y aller Punkte auf der Geraden. Sie ist besonders nützlich für die Untersuchung von Schnittpunkten und Abständen. |
2.4. Steigungsform der Geraden
| In der Schulmathematik wird die Gerade in der Regel in der Steigungsform | |||
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| geschrieben, wobei m die Steigung der Geraden und c den y-Achsenabschnitt beschreibt. Diese Darstellung ist direkt aus der Koordinatenform ableitbar, indem man die Gleichung nach y auflöst: | |||
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Hier entspricht  der Steigung und  dem y-Achsenabschnitt. Diese Form ist besonders hilfreich, um den Verlauf der Geraden graphisch darzustellen und die Änderung des y-Wertes in Abhängigkeit von x zu interpretieren. |
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2.5. Achsenabschnittsform der Geraden
| Liegt die Geradengleichung hingegen in der Form | |||
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| vor, sprechen wir von der Achsenabschnittsform einer Geraden. In dieser Form lassen sich sofort die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ablesen. Der Schnittpunkt mit der x-Achse entspricht der Variablen a (Nullstelle N(a|0)), der Schnittpunkt mit der y-Achse entspricht der Variablen b (Sy (0|b)). Diese Form ist bestens dazu geeignet unmittelbar die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen abzulesen, ohne große Äquivalenzumformungen durchführen zu müssen. | |||
| Weitere Erklärungen und Aufgabenblätter zu linearen Funktionen und Geraden als Sachgebiet der Analysis findest du im Kapitel Analysis / Differenzialrechnung / Funktionsklassen / Lineare Funktionen. |
3. Operationen mit Geradengleichungen im R2
| Die wichtigsten Operationen, die mit Geradengleichungen im zweidimensionalen Raum durchgeführt werden können, inklusive Beschreibung der jeweiligen Methoden mit Beispielen ist nachfolgend aufgelistet. |
| Hier wird nicht die Steigungsform y=mx+c betrachtet, hierzu siehe Kapitel Analysis / Differenzialrechnung / Funktionsklassen / Lineare Funktionen. |
3.1. Aufstellen von Geradengleichungen
| Bestimmung der Geradengleichung: | |
| • | Aus zwei Punkten  und  : |
Stützvektor  alternativ  Richtungsvektor  Geradengleichung in Parameterform  |
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| • | Aus Punkt und Richtungsvektor: |
Direkt in Parameterform  |
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| • | Aus Punkt und Normalenvektor  : |
 Normalengleichung |
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 Koordinatengleichung |
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3.2. Umwandlung zwischen Darstellungsformen
in Normalenvektor 
umwandeln.
wird Fixvektor der Normalenform.
mit 
einen Punkt bestimmen, der zum Stützvektor der Parameterform wird, z. B.
.
3.2.6.1. Beispiel 2 - Umstellung Parameterform
Gegeben ist die Geradengleichung  in Parameterform. |
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| a) | Wandle um in die Normalenform. |
| b) | Wandle um in die Koordinatenform. |
| c) | Wandle um in die Steigungsform. |
| a) | Normalenform: |
Stützvektor wird Fixvektor der Normalenform:  . |
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Normalenvektor aus Richtungsvektor:  . |
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Normalenform:  . |
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| b) | Koordinatenform: |
| Umstellung wie in a) zur Normalenform bringt: | |
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| Berechnung der Skalarprodukte: | |
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| c) | Steigungsform: |
| Umstellung wie in b) zur Koordinatenform bringt: | |
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| Austauschen von x1=x und x2=y: | |
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| Umstellen nach y: | |
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3.2.6.2. Beispiel 3 - Umstellung Normalenform
Gegeben ist die Geradengleichung  in Normalenform. |
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| a) | Wandle um in die Parameterform. |
| b) | Wandle um in die Koordinatenform. |
| c) | Wandle um in die Steigungsform. |
| a) | Parameterform: |
Fixvektor wird Stützvektor der Parameterform:  . |
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Vektor orthogonal zum Normalenvektor wird Richtungsvektor  . |
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Parameterform:  . |
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| b) | Koordinatenform: |
| Berechnung der Skalarprodukte: | |
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| c) | Steigungsform: |
| Umstellung wie in b) zur Koordinatenform bringt: | |
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| Austauschen von x1=x und x2=y: | |
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| Umstellen nach y: | |
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3.2.6.3. Beispiel 4 - Umstellung Koordinatenform
Gegeben ist die Geradengleichung  in Koordinatenform. |
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| a) | Wandle um in die Parameterform. |
| b) | Wandle um in die Normalenform. |
| c) | Wandle um in die Steigungsform. |
| a) | Parameterform: |
Bestimme beliebigen Punkt auf g, dessen Ortsvektor zum Stützvektor wird, z. B.  mit  |
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| Bestimme Normalenvektor und daraus den Richtungsvektor der Geraden. | |
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| b) | Normalenform: |
| Bestimme beliebigen Punkt auf g, z. mit (siehe a)) der zum Fixvektor wird. |
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Bestimme Normalenvektor mit  |
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| c) | Steigungsform: |
| Austauschen von x1=x und x2=y: | |
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| Umstellen nach y: | |
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| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 08. Januar 2025 08. Januar 2025
