Winkelbeweis im Umkreisviereck

Aufgabenstellung
Lösung und Beweisführung

Aufgabenstellung

Vier Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis. Die vier Punkte sind Eckpunkte des Vierecks ABCD.
Zeichne den Kreis, trage die Punkte auf dem Kreis ein und verbinde diese zum Viereck. Miss die Winkelgrößen der vier Winkel im Viereck.
Was fällt dir auf, außer dass die Winkelsumme im Viereck 360 ° beträgt?
Beweise deine Vermutung von soeben.

Lösung und Beweisführung

Der Kathetensatz des Euklid lautet: In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit rechtem Winkel im Punkt C und Hypotenusenabschnitten p und q gilt... (Grafik kathetensatz-A0101 im Aufgabensatz Ähnlichkeitsbeweis Kathetensatz des Euklid) /© by www.fit-in-mathe-online.de)

Skizze siehe Grafik.

Gemessene Winkel:
α=53,8°; β=91,7°
γ=126,2°; δ=88,3°

Vermutung:
α+γ=180 °
β+δ=180 °

Beweis:
Aus nebenstehender Grafik ergibt sich, dass die Dreiecke AMB, BMC, CMD und DMA gleichschenklig sind.
Somit gilt (Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck):
α₁=δ₁
α=α₁+α₂=δ₁+α₂
γ₁=δ₂
γ₂=β-β₁=β-α₁
γ=γ₁+γ₂=δ₂+β-α₁

Im Viereck gilt weiterhin:
α+β+γ+δ=360 °
α und γ eingesetzt aus obigem Nachweis:
δ₁+α₁+β+δ₂+β-α₁+δ=360°
δ₁+β+δ₂+β+δ=360°
Wegen δ=δ₁+δ₂ gilt somit:
δ+β+β+δ=360°
2β+2δ=360 °
β+δ=180°
α+γ=360 °-(β+δ)
α+γ=360°-180 °
α+γ=180°

: Geschrieben von Dr.-Ing. Meinolf Müller Dr.-Ing. Meinolf Müller; Zuletzt aktualisiert: 22. Dezember 2018 22. Dezember 2018

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