2017 - 2019 Stochastik BG Abituraufgaben (mit Hilfsmitteln) |
Dokument mit 23 Aufgaben |
Abiturjahr 2017
Aufgabe A1/2017 (4 Teilaufgaben)
Beim Strafstoß (Elfmeter) gibt es drei mögliche Ereignisse: (1) Der Schütze erzielt ein Tor. (2) Der Torhüter wehrt den Ball ab. (3) Der Schütze trifft die Torbegrenzung oder verfehlt das Tor. Der Fußballer Tom erzielt beim Strafstoß mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % ein Tor. |
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1.1 | Tom schießt vier Strafstöße. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: A: Er erzielt vier Tore. B: Er erzielt mindestens drei Tore. C: Er erzielt genau drei Tore in Folge. |
(5P) |
1.2 | Ein Freund bietet Tom folgendes Spiel an: „Wenn du ein Tor erzielst, zahle ich dir einen Euro, sollte der Torhüter den Ball abwehren, zahlst du mir zwei Euro. Ansonsten musst du mir 10 Euro geben.“ Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Torhüter den Ball abwehrt, wenn man davon ausgeht, dass auf lange Sicht keiner der beiden einen Gewinn macht, das Spiel also fair ist. |
(5P) |
1.3 | In einer Fußballliga wird mit 87 % aller Strafstöße ein Tor erzielt. 10 % der Strafstöße werden vom Torhüter abgewehrt. | |
1.3.1 | Bei einem Strafstoß wird kein Tor erzielt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Torhüter den Ball abgewehrt hat. |
(2P) |
1.3.2 | In iner Saison werden 70 Strafstöße gegeben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass davon mindestens 68 Tore erzielt werden. |
(3P) |
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Aufgabe A2/2017 (4 Teilaufgaben)
An einem Kiosk kann man Rubbellose kaufen. Ein Los besteht aus insgesamt 16 Feldern. Auf jedem Feld steht genau eine Zahl. Auf acht Feldern steht die Zahl 0, auf vier Feldern die Zahl 1 und auf den restlichen vier Feldern die Zahl 5. Die Zahlen sind zufällig auf die Felder verteilt. Die Felder sind von einer undurchsichtigen Schicht überzogen, sodass die Zahlen erst durch Rubbeln der Felder sichtbar werden. Der Käufer eines Loses muss genau zwei Felder aufrubbeln (vgl. Abbildung). Das Produkt der Zahlen, die hierbei sichtbar werden, ist der Betrag in Euro, die der Kioskbetreiber an den Losbesitzer auszahlen muss. |
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2.1 | Eine Frau kauft ein Rubbellos und rubbelt genau zwei Felder frei. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten er folgenden Ereignisse: A: Genau ein frei gerubbeltes Feld zeigt die Zahl 5. B: Die Frau bekommt mindestens einen Euro ausgezahlt. |
(3P) | ||||
2.2 | Ein Mann kauft an fünf Tage in Folge jeweils ein Los. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Mann genau zweimal 25 Euro erhält. | (3P) | ||||
2.3 | Der Kioskbetreiber kauft die Lose für 20 Cent je Stück ein und verkauft ein Los für 2,50 Euro. Bestimmen Sie die Höhe des Gewinns pro Los, den der Kioskbetreiber im Mittel erwarten kann. |
(4P) | ||||
2.4 | Ein Kioskbetreiber notiert immer am Ende des Tages die Anzahl der an diesem Tag verkauften Rubbellose. Ein Student, der als Aushilfe am Kiosk arbeitet, wertet diese Daten aus: Im Mittel werden 17 Lose pro Tag verkauft, wobei die Standardabweichung 4 beträgt. Der Student macht folgende Annahmen:
Welche Information liefert die Sigma-Regel P(μ-σ≤X≤μ+σ)=68,3 % dem Studenten in diesem Sachzusammenhang? |
(5P) |
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Abiturjahr 2018
Aufgabe A1/2018 (4 Teilaufgaben)
1 | Bei einem 10 km Lauf werden die Läufer auf halber Strecke an einem Stand versorgt. Die Organisatoren bieten jedem Läufer jeweils genau einen Becher Wasser und ein Stück Obst als Versorgung an. Aufgrund der Erfahrung aus früheren Wettbewerben nimmt man folgende Wahrscheinlichkeiten an:
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1.1 | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: A: Von fünf Läufern nehmen genau vier Läufer einen Becher Wasser. B: Von sechs Läufern nehmen mindestens zwei Läufer ein Stück Obst. C: Ein Läufer nimmt nur ein Becher Wasser und kein Obst. |
(7P) | ||||||
1.2 | Beurteilen Sie folgende Aussage: „Wenn ein Läufer einen Becher Wasser zu sich nimmt, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er dann auch ein Stück Obst zu sich nimmt, mehr als 30 %.“ |
(5P) | ||||||
1.3 | Insgesamt nehmen an dem Lauf 2500 Läufer teil. | |||||||
1.3.1 | Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 2050 Läufer einen Becher Wasser nehmen. | (2P) | ||||||
1.3.2 | Nach dem Lauf sollen die Wahrscheinlichkeiten überprüft werden, die aus der Erfahrung der früheren Wettbewerbe resultierten. Tatsächlich haben genau 2050 Läufer einen Becher Wasser genommen. Fassen Sie dieses Ergebnis als Stichprobe auf. Prüfen Sie, ob die ursprünglich angenommene Wahrscheinlichkeit von 80 % in dem zugehörigen Vertrauensintervall mit Vertrauenswahrscheinlichkeit 99 % liegt, das sich aus der Stichprobe ergibt. |
(3P) |
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Aufgabe A2/2018 (3 Teilaufgaben)
2 | Der Mineralwasserproduzent „Sauberwasser“ muss zurückgegebene PET Pfandflaschen von einer erneuten Befüllung auf nicht entfernbare Rückstände sowie auf Defekte (wie Risse) untersuchen und gegebenenfalls direkt nach der jeweiligen Kontrolle aussortieren. Der Prozessablauf, den jede einzelne Flasche durchläuft, ist im Folgenden dargestellt: |
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2.1 | Beim Produzenten Sauberwasser weiß man:
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2.1.1 | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: E1: Von 5 Flaschen werden 5 befüllt. E2: Von 15 Flaschen wird genau eine Flasche nicht befüllt. E3: Eine Flasche, die gewaschen wurde, wird auch befüllt. E4: Eine Flasche, die nicht befüllt wird, wurde nicht gewaschen. |
(7P) | ||||
2.1.2 | Bestimmen Sie, wie viele Flaschen mindestens kontrolliert werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90 % mindestens eine Flasche vorzufinden, die nicht befüllt wird. | (3P) | ||||
2.2 | Trotz aller Qualitätskontrollen können nicht alle fehlerhaften Flaschen erkannt werden. Erfahrungsgemäß sind 0,5 % aller ausgelieferten Flaschen fehlerhaft. Der Produzent Sauberwasser kontrolliert vor der Auslieferung an die Kunden bei einer Stichprobe 500 Flaschen auf Fehler. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl X der fehlerhaften Flaschen dieser Stichprobe. |
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Im Diagramm ist die Wahrscheinlichkeits-verteilung von X dargestellt. Bestimmen Sie damit näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Flaschen im σ-Intervall des Erwartungswerts liegt. Nennen Sie einen Grund für die Abweichung von der Wahrscheinlichkeit aus der entsprechenden Sigma-Regel. |
(5P) |
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Abiturjahr 2019
Aufgabe A1/2019 (4 Teilaufgaben)
1 | In Baden-Württemberg tragen 3,5 % aller Zecken FSME-Viren in sich. Diese Viren werden durch Bisse der Zecken auf den Menschen übertragen. | ||
1.1 | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: | ||
E1 : | „Von 20 zufällig ausgewählten Zecken trägt keine einzige FSME-Viren in sich.“ | ||
E2 : | „Von 50 zufällig ausgewählten Zecken trägt höchstens eine FSME-Viren in sich.“ | ||
E3 : | „Von 100 zufällig ausgewählten Zecken tragen mindestens vier FSME-Viren in sich.“ | (6P) | |
1.2 | Prüfen Sie, ob folgende Aussage wahr ist: Das Risiko einer Übertragung der FSME-Viren auf den Menschen übersteigt in Baden-Württemberg erst dann 60 %, wenn man dort von mindestens 25 Zecken gebissen wird. | (3P) | |
1.3 | Die angegebene Wahrscheinlichkeit von 3,5 % mit der die Zecke FSME-Viren in sich trägt, stellt einen Durchschnittswert für ganz Baden-Württemberg dar. In allen Regionen wurden Stichproben genommen und die dortigen relativen Häufigkeiten berechnet. Je dunkler die Region in der Karte dargestellt ist, desto höher sind die relativen Häufigkeiten dafür, dass die Zecken FSME-Viren in sich tragen. Für die Regionen A und B wurde jeweils ein 95 %-Vertrauensintervall für die unbekannten Wahrscheinlichkeiten, mit der eine Zecke dort FSME-Viren in sich trägt, bestimmt. Für die Stichprobe in der Region A ist bekannt, dass 2000 Zecken getestet wurden. |
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1.3.1 | Bei der Stichprobe in der Region A stellte man fest, dass 58 Zecken FSME-Viren in sich tragen. Geben Sie das näherungsweise bestimmte 95 %-Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit an. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. |
(3P) | |
1.3.2 | Bei der Prüfung der Stichproben wird festgestellt, dass die Längen der Vertrauensintervalle für die beiden Regionen A und B übereinstimmen, in Region B jedoch eine größere relative Häufigkeit als in Region A vorliegt (siehe Karte). Erläutern Sie, was dies für den Umfang der Stichprobe in Region B bedeutet. |
(3P) |
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Aufgabe A2/2019 (4 Teilaufgaben)
2 | Das abgebildete Glücksrad besteht aus sechs gleich großen Sektoren. Wird das Glücksrad gedreht, so zeigt der Pfeil beim Stillstand auf genau einen Sektor. Bei einem Fest wird folgendes Spiel angeboten: Zeigt der Pfeil auf Sonne oder Mond dreht man ein weiteres Mal. Das Spiel endet, wenn der Pfeil auf Wolke zeigt oder der Spieler das Rad schon dreimal gedreht hat. Jeder Spieler darf das Spiel nur einmal spielen. |
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2.1 | Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: | ||
A : | „Der Spieler dreht dreimal das Glücksrad.“ | ||
B : | „Der Spieler dreht das Glücksrad höchstens zweimal auf Mond.“ | (4P) | |
2.2 | Ein Spiel endet mit Wolke. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler dann keinmal Sonne gedreht hat. | (4P) | |
2.3 | Der Besitzer des Glücksrads nimmt vor jedem Spiel einen Euro Einsatz vom Spieler. Immer dann, wenn der Spieler Sonne dreht, bekommt er einen Euro ausgezahlt. Ansonsten geht er leer aus. Die Frau des Besitzers hat einige Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet und auf einen Zettel geschrieben. |
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2.3.1 | Berechnen Sie den Gewinn pro Spiel, den der Besitzer langfristig im Mittel erwarten kann. | (4P) | |
2.3.2 | Der Besitzer des Glücksrads fragt sich, wie viele Spieler genau einen Euro ausgezahlt bekommen, wenn genau 140 Spieler das Spiel spielen. Die Frau des Besitzers meint, es wären mehr als 30, aber weniger als 40. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau des Besitzers recht hat. |
(3P) |
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2017 - 2019 Stochastik BG Abituraufgaben (mit Hilfsmitteln) |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 24. August 2022 24. August 2022