2017 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
Aufgaben des Prüfungsjahres 2017 BW |
Dokument mit 4 Aufgaben |
Aufgabe A1.1
Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführen Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion | |
f(t)=6000⋅t⋅e-0,5t; t ≥ 0. | |
(t in Monaten nach Einführung, f(t) in Käufer pro Monat) | |
a) | Zunächst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet. Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. |
b) | Zeigen Sie, dass für t>2 die Funktion f streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen. |
c) | Ermitteln Sie die Gesamtanzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt. |
d) | Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal 30 000 Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits 20 000 Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. |
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Aufgabe A1.2
Die Funktion g ist gegeben durch . | |
a) | Die Tangente an den Graphen von g im Punkt B verläuft durch P(0|-0,5). Bestimmen Sie die Koordinaten von B. |
b) | Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von g, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung y=2x-1 besitzt. Ermitteln Sie die x-Koordinate dieses Punktes. |
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Aufgabe A2.1
An einem Stausee wird der Zu- und Abfluss künstlich geregelt. Dabei wird die momentane Zuflussrate beschrieben durch die Funktion z mit | |
Die konstante Abflussrate wird beschrieben durch die Funktion a mit | |
a(t)=19; t ≥ 0 | |
(t in Stunden seit Beobachtunsbeginn, z(t) und a(t) in 1000 m3/h). | |
a) | Zunächst werden die ersten 24 Stunden nach Beobachtungsbeginn betrachtet. Bestimmen Sie die minimale momentane Zuflussrate. In welchem Zeitraum nimmt die Wassermenge im Stausee ab? Bestimmen Sie die maximale momentane Änderungsrate der Wassermenge. |
b) | Zu Beobachtungsbeginn befinden sich 2.500.000 m3 Wasser im See. Bestimmen Sie die Wassermenge im Stausee 12 Stunden nach Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Wassermenge in jedem 24-Stunden-Zeitraum um 144.000 m3 zunimmt. Welchen Wert müsste die konstante Abflussrate haben, damit nach Ablauf von 14 Tagen die Wassermenge im Stausee 4.180.000 m3 betragen würde? |
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Aufgabe A2.2
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x3-9x2+24x-14. | |
a) | Die Gerade g durch den Hochpunkt H und den Tiefpunkt T des Graphen von f schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten P und Q. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Strecke an der Strecke . |
b) | Begründen Sie, dass die Steigung von f keinen Wert kleiner als -3 annehmen kann. |
c) | Der Graph von f und die Gerade h mit der Gleichung y=2 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die Gerade h. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. |
d) | Eine Parallele zur x-Achse schneidet aus dem Graphen von f ein Kurvenstück aus, das den Tiefpunkt enthält. Die Endpunkte dieses Kurvenstücks haben den Abstand 2,5 voneinander. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Parallelen. |
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2017 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 17. Juli 2019 17. Juli 2019