2012 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
Aufgaben des Prüfungsjahres 2012 BW |
Dokument mit 3 Aufgaben |
Aufgabe 1.1
Die Abbildung zeigt den Verlauf einer Umgehungsstraße zur Entlastung der Ortsdurchfahrt einer Gemeinde. Das Gemeindegebiet ist kreisförmig mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r=1,5 km. Die Umgehungsstraße verläuft durch den Punkt A und B und wird beschrieben durch die Funktion f mit |
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f(x)=-0,1x3-0,3x2+0,4x+3,2. | |
Eine LE entspricht 1 km. | |
a) | Welche Koordinaten hat der nördlichste Punkt der Umgehungsstraße? Wie weit ist dieser Punkt vom Ortsmittelpunkt entfernt? Die Umgehungsstraße beschreibt eine Linkskurve und eine Rechtskurve. Bestimmen Sie den Punkt, in dem diese beiden Abschnitte ineinander übergehen. Zeigen Sie, dass die Umgehungsstraße im Punkt A ohne Knick in die Ortsdurchfahrt einmündet. |
b) | Zur Bewertung von Grundstücken wird die Fläche zwischen der Ortsdurchfahrt und der Umgehungsstraße vermesen. Wie viel Prozent dieser Fläche liegen außerhalb des Gemeindegebietes? |
c) | Im Punkt P(1,5|3) befindet sich eine Windkraftanlage. Ein Fahrzeug fährt von B aus auf die Umgehungsstraße. Von welchem Punkt der Umgehungsstraße aus sieht der Fahrer die Windkraftanlage genau in Fahrtrichtung vor sich? |
d) | In welchem Punkt der Umgehungsstraße fährt ein Fahrzeug parallel zur Ortsdurchfahrt? Welchen Abstand hat ein Fahrzeug auf der Umgehungsstraße höchstens von der Ortsdurchfahrt? |
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Aufgabe 1.2
Gegeben sind die Funktion f und für jedes t > 0 die Funktion gt durch | |
bzw. . | |
a) | Skizzieren Sie die Graphen von f und von g1 für 0 ≤ x ≤ π in ein gemeinsames Koordinatensystem. Geben Sie die Periode und die Amplitude der Funktion f an. An welchen Stellen unterscheiden sich die Funktionswerte von f und g1 im skizzierten Bereich am stärksten? Wie groß ist dieser Unterscheid? |
b) | Für welchen Wert von t schneiden sich die Graphen von f und gt im Ursprung unter einem Winkel von 45 °? Der Graph der Funktion f schließt im Bereich 0≤x≤π mit der x–Achse eine Fläche ein. Für welchen Wert von t hat die Fläche, die der Graph von gt im gleichen Bereich mit der x–Achse einschließt, den gleichen Inhalt? |
c) | K ist der Graph der Funktion g1. Durch Spiegelung von K an der Geraden h: y=2 entsteht der Graph . Geben Sie eine zu gehörende Gleichung an. K rotiert um die Gerade h. Dadurch entsteht im Bereich 0,5≤x≤5,2 das Modell eines Pokals, dessen Standfläche den Mittelpunkt M(0,5|2) hat. Der massive Boden des Pokals reicht von der Standfläche bis zur engsten Stelle. Untersuchen Sie, ob ein Liter Flüssigkeit in den Pokal passt. (1 LE entspricht 2,5 cm.) |
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Aufgabe 2
Ein Medikament kann mithilfe einer Spritze oder durch Tropfinfusion verabreicht werden. | |
a) | Bei Verabreichung des Medikaments mithilfe einer Spritze wird die Wirkstoffmenge im Blut des Patienten beschrieben durch die Funktion f mit f(t)=130⋅(e-0,2t-e-0,8t; 0 ≤ t ≤24 (t in Stunden nach der Injektion, f(t) in mg) Skizzieren Sie den Graphen von f. Das Medikament wirkt nur dann, wenn mindestens 36 mg des Wirkstoffes im Blut vorhanden sind. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt. Zu welchen Zeitpunkten nimmt die Wirkstoffmenge im Blut am stärksten zu bzw. ab? Berechnen Sie die mittlere Wirkstoffmenge im Blut während der ersten 12 Stunden. Wenn das Medikament stattdessen durch Tropfinfusion zugeführt wird, lässt sich die Wirkstoffmenge im Blut beschreiben durch die Funktion g mit g(t)=80∙(1-e-0,05t); t≥0 (t in Minuten seit Infusionsbeginn, g(t) in mg) |
b) | Welche Wirkstoffmenge wird sich langfristig im Blut befinden? Zeigen Sie, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig zunimmt. Zu welchem Zeitpunkt beträgt die momentane Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut 1 mg/min? In welchem 15-Minuten-Zeitraum ändert sich die Wirkstoffmenge um 30 mg? |
c) | Geben Sie eine Differentialgleichung des beschränkten Wachstums an, die von der Funktion g erfüllt wird. Bei der Tropfinfusion wird dem Patienten pro Minute eine konstante Wirkstoffmenge zugeführt. Die Abbaurate ist dabei stets proportional zur Wirkstoffmenge im Blut. Wie groß ist die konstante Zufuhr der Wirkstoffmenge pro Minute? Welche Wirkstoffmenge müsste man pro Minute zuführen, damit sich langfristig 90 mg im Blut befinden? |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 17. Juli 2019 17. Juli 2019