2011 Abituraufgaben allg. Gymnasium Wahlteil Analysis |
Aufgaben des Prüfungsjahres 2011 BW |
Dokument mit 3 Aufgaben |
Aufgabe 1.1
Ein Staubecken wird zur Zeit der Schneeschmelze gefült. Da die Schneeschmelze temperaturabhängig ist, kann die momenten Zuflussrate des Wassers durch die Funktion w mit | |
beschrieben werden (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, w(t) in m3/h). | |
a) | In welchem Zeitraum ist die momentane Zuflussrate größer als 100 m3/h? Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab? |
b) | Zu Beobachtungsbeginn enthält das Staubeken 5000 m3 Wasser. Wie viel Wasser enthält es nach 24 Stunden? Bestimmen Sie einen integralfreien Funktionsterm für die zum Zeitpunkt t im Staubecken enthaltene Wassermenge. Nach welcher Zeit sind 6000 m3 Wasser im Becken? |
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Aufgabe 1.2
Für jedes a>0 ist eine Funktion fa gegeben mit fa(x)=a⋅sin(ax)+a. fa hat das Schaubild Ka und die Periode pa. | |
a) | Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunktes Ha von Ka für 0≤x≤pa. Ermitteln Sie eine Gleichung der Kurve, auf der alle diese Hochpunkte Ha liegen. |
b) | Geben Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten des Wendepunktes Wa von Ka an, der den kleinsten positiven x–Wert hat. Die Tangente in Wa an Ka schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Zeigen Sie, dass der Inhalt dieser Fläche unabhängig von a ist. |
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Aufgabe 2
In einer Großstadt breitet sich eine Viruserkrankung aus. Die momentane Erkrankungsrate wird modellhaft beschrieben durch die Funktion f mit f(t)=150⋅t2⋅e-0,2t; t≥0. Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Beobachtungsbeginn und f(t) die Anzahl der Neuerkrankungen pro Woche. |
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a) | Skizzieren Sie das Schaubild von f. Wann erkranken die meisten Personen? Zeigen Sie, dass ab diesem Zeitpunkt die momentane Erkrankungsrate rückläufig ist. Wann nimmt sie am stärksten ab? |
b) | Alle Neuerkrankungen werden sofort dem Gesundheitsministerium gemeldet. Bei Beobachtungsbeginn sind bereits 100 Personen gemeldet. Wie viel Personen sind nach 12 Wochen insgesamt gemeldet? Die Funktion F mit F(t)=-750∙(t2+10t+50)∙e-0,2t ist eine Stammfunktion von f. Geben Sie eine Funktion für die Gesamtzahl der gemeldeten Personen nach t Wochen an. Wann wird die Zahl von 20000 gemeldeten Personen erreicht? Weisen Sie nach, dass die Anzahl der Meldungen unter 40000 bleiben wird. |
In einer benachbarten Stadt mit 30000 Einwohnern ist bei Beobachtungsbeginn bereits die Hälfte der Einwohner an diesem Virus erkrankt. Es ist davon auszugehen, dass im Laufe der Zeit alle Einwohner von der Krankheit erfasst werden und dass dabei die momentane wöchentliche Erkrankungsrate proportional zur Anzahl der bisher noch nicht von der Krankheit erfassten Einwohner ist. | |
c) | Man nimmt zur Modellierung zunächst den Proportionalitätsfaktor 0,1 an. Geben Sie eine zugehörige Differentialgleichung an. Bestimmen Sie eine Funktion, welche die Anzahl der von der Krankheit erfassten Personen beschreibt. Wieviele Personen werden demzufolge nach 4 Wochen von der Krankheit erfasst sein? Tatsächlich sind es nach 4 Wochen bereits 22000 Personen. Passen Sie die Funktion an die tatsächliche Situation an. |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 17. Juli 2019 17. Juli 2019