 |
Trigonometrie Realschulabschluss |
Die wichtigsten benötigten Formeln
(linke Maustaste zum Schließen/Öffnen)
1. Der Satz des Pythagoras
| Ist im rechtwinkligen Dreieck c die Hypothenuse (= längste Seite) und a und b die beiden Katheten, so gilt: |
c2=a2+b2 bzw.  |
a2=c2-b2 bzw.  |
b2=c2-a2 bzw.  |
2. Die trigonometrischen Formeln
    Die Hypothenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel, um den es geht, gegenüber liegt. Die Ankathete ist die Kathete, die an dem Winkel, um den es geht, anliegt. |
3. Die Flächenformeln
| Dreieck: |  mit g als Grundseite und hg als Höhe auf die Grundseite.Beim rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete die Grundseite und die andere Kathete die Höhe auf diese Grundseite. |
| Quadrat: | A=a2 mit a als der Seitenlänge. |
| Rechteck: | A=a⋅b mit a und b als die beiden Seitenlängen des Rechtecks. |
| Parallelogramm: | A=a⋅ha bzw. b⋅hb mit a bzw. b als eine der beiden Seiten des Parallelogramms und ha bzw hb als Höhe auf die jeweilige Seite. |
| Trapez: |  mit a und c als den beiden parallelen Seiten des Trapezes und h als Höhe auf diese Seiten. |
| Drachen/Raute: |  mit e und f als den beiden Diagonalen. |
4. Der Sinussatz
 Im allgemeinen Dreieck gilt: Diese allgemeine Form des Sinussatzes lässt sich aber nur sehr schwer merken. Deshalb bilden wir uns eine „Eselsbrücke“. Für die Anwendung des Sinussatzes brauchst du eine bekannte Seite (im Beispiel die Seite  und den dieser Seite gegenüberliegenden bekannten Winkel (im Beispiel ist dies β), eine zweite unbekannte Seite (im Beispiel die Strecke  ) und einen dieser Seite gegenüberliegenden bekannten Winkel (im Beispiel α). Mit dem Sinussatz kannst du nun die unbekannte Seite direkt ausrechnen, indem du schreibst:
 bestimmen. Jetzt ist wie zuvor  die bekannte Seite und β der gegenüberliegende bekannte Winkel,  die unbekannte Seite und γ der gegenüberliegende bekannte Winkel, also
 Natürlich kannst du mit dem Sinussatz auch unbekannte Winkel bestimmen. Hierzu haben wir jetzt die bekannte Strecke  und den bekannten gegenüberliegenden Winkel α, die bekannte Strecke  und den unbekannten gegenüberliegenden Winkel β. Wie bilden nun das Verhältnis über den Sinussatz mit
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Der Kosinussatz
 Im allgemeinen Dreieck gilt c2=a2+b2-2ab⋅cosγ bzw.  . Diese allgemeine Form des Kosinussatzes lässt sich auch nur sehr schwer merken. Deshalb bilden wir uns erneut eine „Eselsbrücke“. Für die Anwendung des Kosinussatzes brauchst du zwei bekannte Seite (im Beispiel die Seiten und ) und den von diesen Seiten eingeschlossenen bekannten Winkel (im Beispiel ist dies  ) Mit dem Kosinussatz kannst du nun die unbekannte dritte Seite direkt ausrechnen, indem du schreibst: Wir setzen Zahlen ein und erhalten:   Die restlichen Werte des Dreiecks können nun mühelos über den Sinussatz ermittelt werden.  Natürlich kannst du mit dem Kosinussatz auch unbekannte Winkel bestimmen. Hierzu müssen alle drei Seiten des Dreiecks bekannt sein. Wir entscheiden uns zur Berechnung des Winkels  und bilden: Wir setzen Zahlen ein: 
  Die restlichen Werte des Dreiecks lassen sich dann wieder einfach über den Sinussatz berechnen. |
6. Trigonometrischer Flächeninhalt
Im allgemeinen Dreieck gilt für dessen Flächeninhalt:
Du benötigst zur Flächenberechnung mithilfe des trigonometrischen Flächeninhaltes zwei bekannte Seite (im Beispiel die Seiten und ) und den von diesen Seiten eingeschlossenen bekannten Winkel (im Beispiel ist dies ).
|
7. Besondere Werte für sin, cos und tan
| In bestimmten Aufgaben sollst du den Nachweis eines Flächeninhalts, des Umfangs einer Figur, der Länge einer Strecke oder gar dem Wert eines sin, cos bzw. tan führen in Abhängigkeit einer sogenannten „Formvariablen“. Diese Formvariable wird mit dem Buchstaben "e" bezeichnet. In diesen Aufgaben wird verlangt, dass du den Nachweis ohne gerundete Werte führen sollst. Dies bedeutet für dich, dass du keinen Taschenrechner verwenden kannst und die Aufgabe manuell lösen musst. In diesen Aufgaben handelt es sich stets nur um Winkel der Größe 30° , 45° , 60° bzw. 90° . Für diese Winkelgrößen gibt es besondere Werte, die in nachstehender Tabelle aufgeführt sind. Diese Tabelle findest du auch in deiner Formelsammlung.
 bzw.  vor – kann es vorkommen, dass du zum Erreichen der korrekten Lösung der Aufgabe oftmals den Nenner eines Bruchs rational machen musst, weshalb dies hier nochmals aufgeführt wird. Angenommen, du erhältst ein Ergebnis wie etwa  . Das geforderte Ergebnis laut Aufgabe soll aber sein. Du musst jetzt erkennen, dass man eine Wurzel im Nenner eines Bruchs nicht stehenlassen darf, die Wurzel im Nenner muss verschwinden. Dies wird als „Rationalmachen eines Nenners“ verstanden, was so erfolgt, dass du den Bruch mit der Wurzel im Nenner um diesen Wert erweitern musst. Für unser Beispiel bedeutet dies:
 . |
Aufgaben nach Aufgabengebiet Übungen / Pflicht- / Wahlteile  |
