Die nachfolgenden Regeln und Formeln werden beispielhaft an einer 5-Eckpyramide erläutert. Grundlage der Betrachtung ist dabei die Grundfläche, die ja aus einem regelmäßigen n-Eck besteht. Wie du aus der Grafik erkennst, ist die Grundfläche des n-Ecks in n kongruente Dreiecke unterteilt. Diese Dreiecke sind gleichschenklig, das heißt, a ist die Grundeite und r sind die beiden gleich langen Schenkel jeden Dreiecks. hg ist die Höhe dieser n Dreiecke. γ ist der Spitzenwinkel und α ist der Basiswinkel. Wenn du nun die n Spitzenwinkel zusammenzählst, müssen ja 360° herauskommen, denn einmal um die Mittelpunkt herum entspricht ja 360°. Aus dieser Gesetzmäßigkeit heraus kannst du in jeder n–Eckaufgabe sofort die Größe der Winkel α und γ bestimmen, denn es gilt: ![Fit in Mathe Latex: 2b0d8f64a595e78ab147c2ede729ab6e.png](/media/latex/2b0d8f64a595e78ab147c2ede729ab6e.png) Hast du die Winkel bestimmt, steht der Berechnung der Seitenlänge r sowie der Grundflächendreieckshöhe hg nichts mehr im Wege.
Berechnung von r:
⟹![Fit in Mathe Latex: 70297c366d4b471e3f5fd8b54fdd78f1.png](/media/latex/70297c366d4b471e3f5fd8b54fdd78f1.png) |
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Sinussatz ![Graphik zur Sinussatz-Regel Graphik zur Sinussatz-Regel/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/formeln/Sinussatz.png) |
oder
![Fit in Mathe Latex: 36e720a9b23a9742a94c644a5ecab699.png](/media/latex/36e720a9b23a9742a94c644a5ecab699.png) |
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Satz des Pythagoras ![Graphik zum Satz des Pythagoras Graphik zum Satz des Pythagoras/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/formeln/SdP.png) |
Für letzteres benötigst du jedoch zuerst die Berechnung von hg. Berechnung von hg:
⟹![Fit in Mathe Latex: 7a79bd8f276b8c429b2bf75f93eb1137.png](/media/latex/7a79bd8f276b8c429b2bf75f93eb1137.png) |
Weiterhin ermöglicht dir dies jetzt auch die Berechnung der Fläche des regelmäßigen n–Ecks. Die Fläche eines einzelnen Teildreiecks ist: |
![Fit in Mathe Latex: 8897cd86802ba586ebb464dbe6c4e930.png](/media/latex/8897cd86802ba586ebb464dbe6c4e930.png) |
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trigonometrischer Flächeninhalt ![Graphik zur Regel des trigonometrischen Flächeninhalts Graphik zur Regel des trigonometrischen Flächeninhalts/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/formeln/trigonometrischer-flaecheninhalt.png) |
oder
![Fit in Mathe Latex: afc86521443800cd0d3f1f7b4b6173df.png](/media/latex/afc86521443800cd0d3f1f7b4b6173df.png) und hieraus dann die Fläche des n-Ecks:
bzw. . |
5.1 Volumen, Oberfläche, Mantel
Das Volumen einer regelmäßigen n-Eckpyramide errechnet sich aus mit (Fläche eines regelmäßigen n-Ecks), somit: . Alternativ somit:
. a ist Seitenkante der Grundfläche, h ist die Höhe der Pyramide. Der Mantel der Pyramide errechnet sich aus , a ist Seitenkante der Grundfläche, hs ist die Höhe eines Seitendreiecks. Die Oberfläche der Pyramide errechnet sich aus O=G+M somit:
und . Alternativ: und . a ist Seitenkante der Grundfläche, hs ist die Höhe eines Seitendreiecks. |
5.2 Höhe h
Welche Werte vorgegeben sind, bestimmt die Rechenoperation zur Ermittlung der Höhe h:
a) |
aus dem Volumen über , alternativ . |
b) |
über die Seitenkante s eines Seitendreiecks und der Länge a der Grundfläche mit . |
c) |
über die Höhe hs eines Seitendreicks und der Höhe hg eines Teildreiecks der Grundfläche mit , a ist Seitenkante der Grundfläche. |
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![Berechnungsformeln der Höhe h einer n-Eck-Pyramide Berechnungsformeln der Höhe h einer n-Eck-Pyramide/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/abschlusspruefungen/rs/besondere-pyramiden/H00063.png) |
5.3 Höhe hS
Welche Werte vorgegeben sind bestimmt die Rechenoperation der Höhe hs der Seitendreiecke:
a) |
aus dem Mantel über , a ist Seitenkante der Grundfläche. |
b) |
über die Seitenkante s der Pyramide und der Seitenkante a des n-Ecks mit . |
c) |
über die Höhe h der Pyramide und der Höhe hg eines Teildreiecks der Grundfläche mit , a ist Seitenkante der Grundfläche. |
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![Berechnungsformeln der Seitenhöhe hs einer n-Eck-Pyramide Berechnungsformeln der Seitenhöhe hs einer n-Eck-Pyramide/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/abschlusspruefungen/rs/besondere-pyramiden/H00064.png) |
5.4 Kante s
Welche Werte vorgegeben sind bestimmt die Rechenoperation der Länge s der Seitenkante der Seitendreiecke:
a) |
über die Höhe h der Pyramide und der Länge r der Seitenkante eines Teildreiecks der Grundfläche mit . |
b) |
über die Höhe hs der Seitendreiecke und der halben Länge a mit , a ist die Seitenkante der Grundfläche. |
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![Berechnungsformeln der Seitenkante s einer n-Eck-Pyramide Berechnungsformeln der Seitenkante s einer n-Eck-Pyramide/© by www.fit-in-mathe-online.de](https://www.fit-in-mathe-online.de/images/abschlusspruefungen/rs/besondere-pyramiden/H00065.png) |
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