Abitur-Musteraufgaben allg. bild. Gymnasium Wahlteil Analysis
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Dokument mit 5 Aufgaben |
Aufgabe M12A1
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f, die für 0≤t≤15 das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und f(t) das Volumen in Kubikmetern. | ||||
a) | Geben Sie das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn an. Geben Sie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 350 Kubikmeter beträgt. Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. Begründen Sie, dass die Funktionsgleichung von f weder die Form I) noch die Form II) hat: |
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I) | y=-0,3t4+at2+100, | |||
II) | y=8,5t3+3,7t2+bt+100, | |||
b) | Die fünfzehn Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann. Interpretieren Sie die Gleichung f(t+6)=f(t)-350 im Sachzusammenhang. Geben Sie eine Lösung der Gleichung an. |
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Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für 0≤t≤15 durch die Funktion | ||||
g mit g(t)=0,4∙(2t3-39t2+180t) | ||||
beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die Änderungsrate in m3/h . Die Funktion G mit G(t)=0,2∙(t4-26t3+180t2) ist eine Stammfunktion von g. | ||||
c) | Berechnen Sie für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist. Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt. |
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d) | Drei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken 350 Kubikmeter Wasser enthalten. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn. Untersuchen Sie rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn. |
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Abbildung zu Aufgabe M12A1 |
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Aufgabe M12A2
Für jedes c > 0 ist eine Funktion hc mit hc (x)=c∙sin(cx) gegeben. |
Eine Nullstelle von hc ist 0, die benachbarte positive Nullstelle wird mit u bezeichnet. Geben Sie den Wert von u in Abhängigkeit von c an. Berechnen Sie damit den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von hc für 0 ≤ x ≤ u mit der x-Achse einschließt. |
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Mustersatz 12 |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 27. April 2020 27. April 2020