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Differenzialrechnung - Die mittlere Änderungsrate |
Regeln und Beispiele
Aufgabe 1
Während eines Dauerregens wird die Wassermenge V (in Liter) in einer Regentonne in Abhängigkeit von der Zeit t (in Minuten) gemessen.
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Lösung 1
 Der Eintrag der Messpunkte in ein Koordinatensystem führt zum Schaubild gemäß nebenstehender Grafik. Wie du siehst, läuft der Vorgang nicht kontinuierlich ab (beachte die gepunkteten Linien).Die blaue Linie stellt nun die mittlere Änderungsrate in den ersten 5 Minuten dar. Diese Linie ist Teil einer Geraden durch die beiden Punkte A und D. Bekanntlich haben Geraden ja eine Steigung m. Der Wert dieser Steigung ist gleich dem Wert der mittleren Änderungsrate in den ersten 5 Minuten. In der Mittelstufe haben wir die Steigung einer Geraden mithilfe der Formel  berechnet. Diese Berechnung gilt auch für die mittlere Änderungsrate, nur dass wir jetzt an Stelle von m schreiben  . Um den Bereich zu beschreiben, für den wir die mittlere Änderungsrate bestimmen wollen, schreiben wir I=[a;b] (gesprochen „Im Intervall von a bis b“). In unserem Beispiel ist a=0 und b=5. Mithilfe dieser Definitionen können wir nun die mittlere Änderungsrate (die ja eine Änderungsrate des Volumens ist) berechnen mit: Die mittlere Volumenänderung in I=[0;5] beträgt 6,6 ltr/min. Der mathematische Namen für lautet „Differenzenquotient“. |
Merksatz 1 mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall I=[a;b] ist der Differenzenquotient  . Mit dem Differenzenquotienten kann z. B. beschrieben werden:
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Geometrische Bedeutung
 Wie wir in den beiden Beispielen gesehen haben, verändert sich die mittlere Änderungsrate je nachdem, zwischen welchen Messpunkten wir sie berechnen. Nun lassen sich solche Messreihen auch durch mathematische Funktionen beschreiben, denen eine Funktions-gleichung zugrunde liegt.Betrachten wir uns einmal die h-t–Funktion des freien Falls. Ihre Funktionsgleichung lautet ja  mit g=9,81 m/s2 als Erdbeschleunigung (Ortsfaktor). Wir lassen einen Stein vom schiefen Turm in Pisa aus rund h0=56 m Höhe herunterfallen. Der Graph der Funktion des freien Falls ist ja eine Parabel wie obenstehend abgebildet. Die Fallgeschwindigkeit des Steins wird ja stets größer, bis er auf der Erde aufschlägt. Nun wollen wissen, mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit der Stein fällt, bilden also den Differenzenquotienten zwischen den Punkten P und Q, also in I=[0;3,38]. Die Berechnung zeigt, dass wir eine mittlere Fallgeschwindigkeit von 16,57 m/s haben. Bei der Fallstrecke zwischen den Punkten P' und Q', also in I=[0,5;2], kommen wir zu einer mittleren Fallgeschwindigkeit von 12,26 m/s. (Dass die Geschwindigkeiten in der Grafik mit „-„ angegeben sind, rührt daher, dass der Stein ja nach unten fällt.) Betrachten wir uns noch einmal die obige Grafik. Die rote Linie für I=[0;3,38] schneidet ja den Graphen der h-t–Funktion in den Punkten P und Q. Sie ist also, bezüglich des Graphen eine Sekante. Gleiches gilt auch für die grüne Linie mit den Punkten P' und Q', sie ist ebenfalls eine Sekante. Sekanten sind im mathematischen Sinne Geraden und über den Differenzenquotienten haben wir die Steigung dieser Geraden berechnet. Mit anderen Worten: |
Merksatz 2 mittlere Änderungsrate
| Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall I=[a;b] entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte P(a│f(a)) und Q(b│f(b)). |
| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 1  9 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 2 11 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 1 / Blatt 3 16 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 1 10 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 2 / Blatt 2 6 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 1 16 Aufgaben im Blatt |
| Mittlere Änderungsrate Aufgabenblatt Level 3 / Blatt 2 15 Aufgaben im Blatt |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
