
Momentane (lokale) Änderungsrate der Differenzialrechnung

Momentane Änderungsrate Einleitung

Haben wir im Kapitel „Mittlere Änderungsrate“ kennengelernt, wie wir das Steigungsverhalten von Kurven zwischen zwei bestimmten Kurvenpunkten ermitteln, so ist es auch von Interesse zu wissen, wie die Änderungsrate in einem einzigen bestimmten Punkt der Kurve aussieht.
Um zu verdeutlichen, wie das geschieht, betrachten wir wieder das Beispiel mit dem schiefen Turm zu Pisa aus dem Kapitel „Mittlere Änderungsrate“.

Regeln und Beispiele

In nebenstehender Grafik sehen wir zunächst die Ausgangssituation. Die mittlere Änderungsrate zwischen den Punkten P und Q beträgt -9,81 m/s.
Wir möchten wissen, welche Geschwindigkeit denn genau im Punkt Q herrscht. Hierzu lassen wir den Punkt P entlang der Kurve auf den Punkt Q zuwandern.

Du kannst die Animation starten, indem du auf das Starte Animation

-Symbol (in der oberen Grafik unten links in der Ecke) klickst. Willst du die Animation anhalten, so klicke auf das

-Symbol (ebenfalls unten links in der Ecke).
Beachte, wie sich die Koordinaten des Punktes P und auch der Differenzenquotient $Fit in Mathe Latex: b232b428db30a99b7636e213124395ab.png$ sich verändert.
Hast du den Punkt P dann soweit verschoben, dass er mit dem Punkt Q zusammenfällt, zeigt uns der Differenzenquotient dann die genaue Geschwindigkeit im Punkt Q mit -18,57 m/s an.
Dies führt uns zu folgendem Merksatz:

Merksatz zur momentanen Änderungsrate

Die momentane (lokale) Änderungsrate einer Funktion f in einem beliebigen Punkt Q(a│f(a)) entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt Q.
Mithilfe der momentanen (lokalen) Änderungsrate lässt sich somit die Steigung jeder beliebig geformten Kurve in ihren Punkten bestimmen.

Beispiel 1
Lösung 1

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion f mit $Fit in Mathe Latex: e7c253b07dadee92c19b99ce1df4d64d.png$ .
a)	Berechne die mittlere Änderungsrate im Intervall I=[1;3].
b)	Berechne die momentane Änderungsrate an der Stelle x=1. Interpretiere den Sachverhalt geometrisch.

Lösung 1

a)

b)

Momentane (lokale) Änderungsrate Beispiel 1 / © by fit-in-mathe-online.de

Mittlere Änderungsrate in I=[1;3]:
$Fit in Mathe Latex: 220efd7557406dd9b0862449f6d55929.png$
Momentane Änderungsrate in x=1:
Hierzu wählen wir den Punkt P(1|f(1)) und einen Punkt Q, der etwas weiter rechts von P zu liegen kommt, zum Beispiel den Punkt Q(1,1|f(1,1)).
Mithilfe einer Tabelle berechnen wir nun mehrere Differenzenquotienten, indem wir die x–Koordinate von Q immer näher an die x-Koordinate von P heranrücken. Das sieht dann so aus:

Intervall $Fit in Mathe Latex: c76dd2b6ea3ee280aca4880d37eb4ca9.png$	$Fit in Mathe Latex: ceba3626e55e1f6e1fc97f85bf3a2ae0.png$	$Fit in Mathe Latex: 751d57e5ef70833ebf232ef245025eaa.png$	$Fit in Mathe Latex: 5877adfabfce0efb1e045d56978f8237.png$	$Fit in Mathe Latex: e82579eea0ecea87024a39c3200356f2.png$
$Fit in Mathe Latex: 240a0d8cd8babe3a684b6a40201b35d5.png$	$Fit in Mathe Latex: b3314af8895d2bf6d4cb2d62e315062f.png$	$Fit in Mathe Latex: 9ebd46c55425819f2ce876c92fd9a195.png$	$Fit in Mathe Latex: 5c68d6d0b3eea4919bfa28ff9afa09e5.png$	$Fit in Mathe Latex: 481a9eeba3e09dec7cc92438ceb96983.png$
$Fit in Mathe Latex: 07c60a5727f6b1b92edefa154332cd63.png$	$Fit in Mathe Latex: 44715fe1101806762e3076f6b973df4a.png$	$Fit in Mathe Latex: ef08d4ed1b89e64b953e5f1a57635c32.png$	$Fit in Mathe Latex: a36e5296fad18fe7c6d44a57ac5c2a1e.png$	$Fit in Mathe Latex: 79ac4d021ab4024ad18eedcd02cb220a.png$

Je näher wir also dem Punkt kommen, umso näher kommt $Fit in Mathe Latex: 215aff568310d164a66ee5e05c13cd4c.png$ der Zahl 2.
Wir können also sagen, dass die Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt P(1|f(1)) m_t=2 ist. Mathematisch ausgedrückt:
Die mittlere Änderungsrate auf I=[1;x_Q] strebt für Δx→0 gegen 2.
Die momentane Änderungsrate in x_P=1 ist 2.

Geometrische Bedeutung

Beispiel 2
Lösung 2

Beispiel 2

Ein Flugzeug beschleunigt beim Startvorgang bis zum Abheben.
Das s-t-Diagramm zeigt den zurückgelegten Weg s in m in Abhängigkeit von der Zeit t in s.
Da die Geschwindigkeit v in den ersten 20 s stetig zunimmt, kann man die Momentangeschwindigkeit v nicht mehr mit $Fit in Mathe Latex: 236e644057f11ba14f04ee883b136538.png$ berechnen.
Bestimme die Geschwindigkeit des Flugzeuges zum Zeitpunkt t=10 s aus dem Diagramm heraus.