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Differenzialrechnung - Änderungsraten

Änderungsraten Einleitung

Wir können viele Bereiche unseres Lebens ja mit messbaren Größen beschreiben. So messen wir z. B. die Entfernung zwischen zwei Städten in Kilometer. Wir bestimmen den Inhalt einer Flasche in Litern, das Gewicht eines Körpers in Gramm oder Kilogramm, die Konzentration eines Medikaments in Milliliter, usw., usw.
Wir bezeichnen diese unterschiedlichen Messgrößen mit dem Buchstaben G.
Google Map zur Erläuterung des Begriffs ÄnderungsrateAuf der anderen Seite kann es ja vorkommen, dass eine solche Messgröße nicht konstant ist, sondern im Verlaufe eines Zeitabschnittes sich verändert. Wenn wir mit dem Auto von Stuttgart nach Hamburg fahren, so ist die gesamte Wegstrecke ja etwa 650 km. Wir benötigen hierzu etwa 6,5 Stunden. Sind wir aber erst etwa zwei Stunden gefahren, so befinden wir uns erst im Raum Frankfurt am Main und haben somit erst 195 km Wegstrecke zurückgelegt.
Die zurückgelegte Wegstrecke auf unserer Fahrt ist also abhängig von der Zeit, die wir von Stuttgart aus gesehen, unterwegs sind.
Wir bezeichnen diese Zeitdifferenz mit Δt, wobei Δt=t2 -t1 ist, mit t1 als Anfangszeit und t2 als aktuelle Zeit zum Messpunkt.
Auf unser Beispiel angewandt: Δt wäre für die gesamte Strecke Stuttgart -> Hamburg damit
Δt=6,5-0=6,5 Stunden und für die Strecke Stuttgart -> Frankfurt Δt=2-0=2 Stunden.
Somit wäre für die Strecke Frankfurt -> Hamburg Δt=6,5-2=4,5 Stunden.
Merksatz
Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums Δt. Anschaulich gesprochen ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe G ändert.
Änderungsraten unterscheiden sich von Veränderungsangaben dadurch, dass sie immer ein Verhältnis der Form „Größe pro Zeit“ mit entsprechender Maßeinheit sind.
Wir unterscheiden dabei zwischen
mittlerer Änderungsrate und momentaner Änderungsrate.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate

Mittlere Änderungsrate

Änderungsraten Durchschnittsgeschwindigkeit / © by Fit-in-Mathe-OnlineEinmal angenommen, wir hätten auf unserer Fahrt zwischen Stuttgart und Hamburg alle 10 Minuten die zurückgelegte Strecke über das Tachometer gemessen und die sich ergebenden Punkte in einem Koordinatensystem eingetragen und miteinander verbunden. Wir erhielten dann die in nebenstehender Grafik gestrichelt blau markierte Kurve.
Jetzt wird Vater Jan von seinem fünfjährigen Sohn Berti gefragt, wie schnell er denn gefahren sei.
Änderungsraten Durchschnittsgeschwindigkeit / © by Fit-in-Mathe-Online
Vater Jan überlegt nicht lange und sagt: „Berti, ich bin mit 100 km/h von Stuttgart nach Hamburg gefahren.“ Wie kommt Vater Jan darauf?
Nun, er hat ganz einfach gerechnet: in 6,5 Stunden bin ich 650 km weit gekommen, das entspricht ja genau . Vater Jan hat damit seine Durchschnittsgeschwindigkeit errechnet. Und diese Durchschnittsgeschwindigkeit ist nichts anderes, als die mittlere Änderungsrate im Zeitraum zwischen Abfahrtszeit (Stunde null) und Ankunftszeit Hamburg (Stunde 6,5).
Betrachten wir noch die Strecke zwischen Stuttgart und Frankfurt. Für 195 km hat Vater Jan 1,5 Stunden benötigt. Also fuhr er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von . Die mittlere Änderungsrate im Zeitraum zwischen Abfahrtszeit (Stunde null) und Ankunftszeit Frankfurt (Stunde 1,5) beträgt 130 km/h.
Betrachten wir uns noch einmal die Grafik. Wir sehen, dass die grün eingezeichneten Durchschnittsgeschwindigkeiten die blau gestrichelte Messkurve schneiden. Die grünen Linien sind ja Geraden. Bekanntlich haben Geraden ja eine Steigung m. Und der Wert dieser Steigung ist gleich dem Wert der mittleren Änderungsrate, in unserem Beispiel die Durchschnittsgeschwindigkeit.
Merksatz
Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Messgröße G zwischen zwei Zeitpunkten t1 und t2, also im Zeitraum Δt=t2-t1. Berechnet wird sie als Quotient aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten ΔG=G(t2)-G(t1) und der Dauer Δt des Zeitraums ΔG/Δt. Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von G(t) ist die mittlere Änderungsrate zwischen t1 und t2 die Steigung der Sekante durch die Punkte (t1 |G(t1)) und (t2|G(t2)) auf dem Diagramm.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Änderungsrate#Mittlere_.C3.84nderungsrate

Momentane Änderungsrate

Änderungsraten Momentane Geschwindigkeit / © by Fit-in-Mathe-OnlineWie wir zuvor gesehen haben, gibt es auf der Strecke zwischen Stuttgart und Hamburg wohl unterschiedliche Geschwindigkeiten. Uns interessiert nun, welche Geschwindigkeit Vater Jan zu einem ganz bestimmten Zeitpunkt fährt. Hierzu betrachten wir den Punkt Frankfurt P(1,5|195).
Nehmen wir einmal an, wir hätten die zurückgelegte Strecke zum Zeitpunkt
 t1=1,45 Stunden und  t2=1,55 Stunden gemessen. Als Messergebnisse bei t1 erhielten wir 189,65 km  und bei t2 erhielten wir 200,29 km.
Änderungsraten Momentane Geschwindigkeit / © by Fit-in-Mathe-Online
Gemäß den Regeln für die mittlere Änderungsrate bilden wir nun den Quotienten aus der Differenz der beiden Werte zu diesen Zeitpunkten Δs=s2-s1 und der Dauer Δt=t2-t1.
Δs=s2-s1=200,29-189,65=10,64;  Δt=t2-t1=1,55-1,4=0,1

Jetzt haben wir zwar wiederum eine mittlere Änderungsrate im Zeitintervall zwischen t1=1,45 h und t2=1,55 h berechnet, da dieses Zeitintervall jedoch sehr klein ist, können wir ohne Bedenken erklären, dass Berts Vater mit 136 km/h an Frankfurt vorbeigefahren ist.
Wir könnten dieses Spiel jetzt noch lange weitertreiben, indem wir unsere Zeitpunktintervalle immer kleiner machen, z. B. zwischen t1=1,499 h und t2=1,501 h. Wir kämen damit immer näher an die momentane Geschwindigkeit heran. Und diese momentane Geschwindigkeit entspricht der momentanen Änderungsrate.
Betrachten wir uns noch einmal die Grafik. Wir sehen, dass die grün eingezeichnete Momentangeschwindigkeit die blau gestrichelte Messkurve berührt. Die grüne Linie ist wiederum eine Gerade. Der Unterscheid zur mittleren Änderungsrate ist der, dass dort die grünen Linien die Messkurve schneiden. Bei der momentanen Änderungsrate haben wir aber keine Schnittpunkte mehr, sondern einen einzigen Berührpunkt. Die Gerade ist also zur Tangente an die Messkurve geworden. Die momentane Änderungsrate entspricht also der Steigung der Tangente als auch der Kurve im untersuchten Punkt.
Merksatz
Die momentane Änderungsrate ist die auf einen „Moment“ (sehr kurzen Zeitraum) bezogene Veränderung einer zeitabhängigen Messgröße G. Sie kann mathematisch als Ergebnis des Grenzprozesses als Ableitung G'(t) einer Zeit-G-Funktion G(t) dargestellt werden.
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84nderungsrate#Momentane_%C3%84nderungsrate
Nähere Einzelheiten und Regeln als auch Übungen findest du in den einzelnen Kapiteln „Mittlere Änderungsrate“ und „Momentane Änderungsrate“ hier im Portal.
Differenzialrechnung Änderungsraten
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