Für k ∈ R mit 0 < k ≤ 6 werden die Pyramiden ABCD mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und Dk (0|0|k) betrachtet (siehe Abbildung), |
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a) |
Begründen Sie, dass das Dreieck BCDk gleichschenklig ist. Der Mittelpunkt der Strecke BC ist M(2|2|0).
ist die Länge einer Höhe des Dreiecks BCDk. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks BCDk. |
Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche BCDk in der Ebene . |
b) |
Ermitteln Sie denjenigen Wert von k, für den die Größe des Winkels, unter dem die x3-Achse die Ebene Lk schneidet, 30 ° beträgt. |
c) |
Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in nebenstehender Abbildung gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte A und Q(1|1|3) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenfläche des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen. Für k=6 enthält die Seitenfläche BCDk der Pyramide den Eckpunkt Q des Quaders. Für kleinere Werte von k schneidet die Seitenfläche BCDk den Quader in einem Vieleck. Für einen Wert von k verläuft die Seitenfläche BCDk durch die Eckpunkte P und R des Quaders. Bestimmen Sie diesen Wert von k. Geben Sie in Abhängigkeit von k die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche BCDk den Quader schneidet. |
d) |
Nun wird die Pyramide ABCD6 , d.h. diejenige für k=6, betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung). Die Grundflächen der Quader liegen in der x1 x2-Ebene, haben den Eckpunkt A gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe h der Quader durchläuft alle reellen Werte mit 0 < h < 6. Für jeden Wert von h liegt der Eckpunkt Qh in der Seitenfläche BCD6 der Pyramide. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes Qh. |