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WIKI zu Wurzeln von Zahlen und Variablen |
2. Wurzeln von Zahlen
2.1. Quadratwurzeln
2.1.1. Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen
| Generell ist es möglich, Wurzeln aus allen uns bekannten Zahlen zu ziehen. Betrachten wir uns am Anfang einmal die einfachsten Zahlen hierzu, nämlich die Quadratzahlen. Eine Quadratzahl ist ja eine Zahl, die sich durch Multiplikation einer anderen Zahl mit sich selbst ergibt. So ist ja 2⋅2=4. Also ist die 4 eine Quadratzahl, da sie durch die Multiplikation von 2 mit sich selbst entsteht. Das gleiche gilt für 3⋅3=9, hier ist die 9 die Quadratzahl, da sie durch die Multiplikation von 3 mit sich selbst entsteht. |
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| Wurzelziehen möchte nun z. B. wissen, aus welcher Zahl durch Multiplikation mit sich selbst, eine bestimmte Zahl entstanden ist. Aus den Beispielen von zuvor, nämlich Quadratzahl 4 bzw. Quzadratzahl 9, möchten wir die ursprüngliche Zahl wissen. Diese Berechnungsmethode bezeichnen wir als Wurzelziehen und schreiben: | |||||||
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| Nachfolgend eine Aufstellung aller Wurzeln die als Ergebnis die Zahlen 1 bis 25 haben. Am besten lernst du diese Zahlen auswendig. | |||||||
| Wurzel | Zahl | Wurzel | Zahl | Wurzel | Zahl | ||
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1 |  |
10 |  |
19 | ||
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2 |  |
11 |  |
20 | ||
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3 |  |
12 |  |
21 | ||
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4 |  |
13 |  |
22 | ||
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5 |  |
14 |  |
23 | ||
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6 |  |
15 |  |
24 | ||
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7 |  |
16 |  |
25 | ||
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8 |  |
17 | ||||
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9 |  |
18 | ||||
In der vorigen Tabelle tauchen jedoch nur Zahlen auf, aus denen sich die Wurzel ziehen lässt. Wie sieht es aber mit Zahlen aus, z. Bsp. einer 3? Was ist denn die  ? Welche Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt denn 3?Nun, aus obiger Tabelle sehen wir, dass  und  ist. Also, muss doch wohl zwischen 1 und 2 liegen. Nun gibt es unterschiedliche Methoden die manuell zu berechnen. Im heutigen Zeitalter der Taschenrechner ist diese jedoch überflüssig. Dieses Portal geht auch auf diese einzelnen Methoden nicht mehr ein.Was wir in diesem Zusammenhang aber wissen müssen ist, dass die eine irrationale Zahl ist. Irrationale Zahlen sind Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die sich an keiner Stelle periodisch wiederholen. Dies im Gegensatz zu den rationalen Zahlen, die stets auch als ein Bruch dargestellt werden können.Nur zu deiner Information, hier einmal die ersten 100 Stellen von : |
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| =1,7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 |
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| 0628055806 9794519330 1690880003 7081146186 7572485756 | |||||||
| Der derzeitige Weltrekord der Berechnung der Nachkommastellen (vom 9. Juni 2019) liegt bei 2.000.000.000.000 (sprich 2 Billionen) und wurde von Hiroyuki Oodaira erzielt. Wichtig zu wissen ist, dass Wurzeln aus allen natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, irrationale Zahlen sind. |
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2.1.2. Quadratwurzeln von ganzen Zahlen
| Sind die natürlichen Zahlen nur ganze, positive Zahlen, so zählen zu den ganzen Zahlen auch die ganzzahlig negativen Zahlen. Wie verhält es sich nun aber mit der Quadratwurzel einer negativen ganzen Zahl? Überlegen wir uns doch einmal, was  sein könnte. Wir wissen ja, dass wir eine Zahl suchen, die mit sich selbst multipliziert den Wert -1 ergibt. Von den Rechengesetzen her wissen wir aber, das "+"⋅"+"="+" und "-"⋅"-"="+" ist. Wir können also keine Zahl finden, die mit sich selbst multipliziert einen negativen Wert ergibt. Dies führt uns zur Erkenntnis, dass es für eine negative Zahl unter der Wurzel keine Lösung gibt. Der hieraus resultierende Merksatz lautet (vorläufig) also: |
Merksatz Wurzelziehen negativ
| Wurzelziehen oder Radizieren von negativen Zahlen hat keine Lösung. Minuszeichen unter einer Wurzel sind demnach nicht erlaubt. |
An dieser Stelle ein Hinweis für den mathematisch Interessierten: Da es ja in der Mathematik nichts gibt, was es nicht gibt, haben sich Mathematiker eine Lösung für dieses Problem einfallen lassen. Sie bezeichnen einfach  und führen damit die letzte der Zahlenmengen ein, nämlich die Menge der komplexen Zahlen  . Nähere Einzelheiten und Berechnungsarten mit komplexen Zahlen findest du in diesem Portal unter „Die komplexen Zahlen“. |
2.1.3. Quadratwurzeln von rationalen Zahlen
| Selbstverständlich lassen sich die Wurzelgesetze auch auf rationale Zahlen anwenden. Wir erinnern uns, rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich durch einen Bruch darstellen lassen. |
Untersuchen wir doch einmal  . Wir suchen wieder mal eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert  ergibt. Das ist ja nicht allzu schwer, denn von der Bruchrechnung her wissen wir, dass  ist. Es ist also  .Oder wir untersuchen einmal  . Was wir weiter oben ja schon gelernt haben ist, dass  und  ist. Also muss  sein. Und da  ist, ist  . |
2.2. Kubikwurzeln
2.2.1. Kubikwurzeln von natürlichen Zahlen
| Unter einer Kubikwurzel verstehen wir das Suchen nach einer Zahl die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. So gilt: |
 , denn 2⋅2⋅2=8. |
| Ähnlich den Quadratwurzeln von natürlichen Zahlen ist das Ergebnis einer Kubikwurzel nur dann wieder eine ganze Zahl, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen sich aus der dreifachen Multiplikation einer anderen natürlichen Zahl ergibt. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis eine irrationale Zahl. |
2.2.2. Kubikwurzeln von ganzen Zahlen
| Zu den ganzen Zahlen zählen ja auch die negativen ganzen Zahlen. Auch hier gilt, dass ein Minuszeichen unter der Wurzel nicht zulässig ist, allerdings mit einer kleinen Einschränkung, denn |
| x3=-8, hier gilt ja (-2)⋅(-2)⋅(-2)=-8. |
Jetzt könnte ja jemand meinen, dass die Kubikwurzel aus -8 gleich -2 wäre, was auch richtig ist, allerdings ist die Schreibweise  verboten und du musst statt dessen  schreiben. |
, denn 
.2.3. n-te Wurzel
| Das „n“ von n-te Wurzel steht hier für den Wurzelexponenten. Eigentlich sind Quadratwurzel und Kubikwurzel auch n-te Wurzeln. Die Quadratwurzel ist eben die 2-te Wurzel, die Kubikwurzel die 3-te Wurzel. Ist n=4 handelt es sich eben um die 4-te Wurzel, bei n=5 um die 5-te Wurzel usw. usw. Die Schreibweise der n-ten Wurzel ist  . |
2.3.1. n-te Wurzeln von natürlichen Zahlen
| Unter einer n-ten wurzel verstehen wir das Suchen nach einer Zahl die n Mal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. So gilt: |
 , denn 2⋅2⋅2⋅2=16. |
| Das Ergebnis einer n-ten Wurzel ist nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen sich aus der n-maligen Multiplikation einer anderen natürlichen Zahl ergibt. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis eine irrationale Zahl. |
2.3.1.1. Geradzahlige Wurzelexponenten
| Ist der Wurzelexponent z. B. gleich 4, so haben 4-te Wurzeln aus einer negativen Zahl keine Lösung. Zwar ist die  , wollten wir aber die  ziehen, so müsste |
| (-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=-16 |
| Ist es aber nicht, denn |
| (-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=+16 |
| Damit wissen wir, dass n-te Wurzeln mit geradzahligem Wurzelexponenten n bei negativen Zahlen keine Lösung haben. |
2.3.1.2. Ungeradzahlige Wurzelexponenten
| Auch hier gilt, dass Minuszeichen unter der Wurzel nicht zulässig sind, allerdings mit der Einschränkung wie bei der Kubikwurzel, denn |
| x5=-32, da gilt ja (-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)=-32. |
Jetzt könnte ja jemand meinen, dass die 5-te Wurzel aus -32 gleich -2 wäre, was auch richtig ist, allerdings ist die Schreibweise  verboten und du musst statt dessen  schreiben. |
, denn 
.
, denn 
.3. Wurzel von Variablen
| Ungeachtet der Art der Wurzel, ob es sich um Quadrat-, Kubik- oder n-te Wurzeln handelt, die Regeln für Wurzeln aus Zahlen gelten uneingeschränkt auch für Variable. Der einzige Unterschied ist der, dass du jetzt nicht mehr weißt, ob das Ergebnis eine natürliche, eine ganze, eine rationale oder gar eine irrationale Zahl ist, denn du kennst ja (noch) nicht den Wert der Variablen. So kannst du z. B. keine Aussage über die Art des Ergebnisses bei der Gleichung |
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| machen. Das Einzige was du hier weißt ist, dass b n-mal mit sich selbst multipliziert a ergeben muss. Was du aber erkennen solltest, dass z. B. die Quadratwurzel |
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| ist, denn a⋅a=a2. Oder |
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| ist, denn x⋅x⋅x⋅x⋅x=x5. |
| Ebenfalls wichtig zu wissen ist – und das gilt auch für Zahlen, dass sich eine Wurzel potenziert mit ihrem Wurzelexponenten aufhebt. So ist |
 denn |
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| Für weitere Operationen mit Wurzeln von Variablen siehe auch die anderen Kapitel unter diesem Thema. |
| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 1 / Blatt 1  56 Aufgaben im Blatt |
| Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 1 / Blatt 2 66 Aufgaben im Blatt |
| Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 1 / Blatt 3 84 Aufgaben im Blatt |
| Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 2 / Blatt 1 89 Aufgaben im Blatt |
| Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 2 / Blatt 2 25 Aufgaben im Blatt |
| Wurzeln von Zahlen und Variablen Level 2 / Blatt 3 25 Aufgaben im Blatt |
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- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 15. Juli 2021 15. Juli 2021
