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WIKI Rentenrechnung mit Zinseszinsen

Einführung zur Rentenrechnung mit Zinseszinsen
Der Rentenendwert
1. Der Rentenendwert mit nachschüssiger Zahlung
  1. Beispiele nachschüssige Zahlung
2. Der Rentenendwert mit voschüssiger Zahlung
  1. Beispiele vorschüssige Zahlung
Der Rentenbarwert
1. Der Rentenbarwert mit nachschüssiger Zahlung
2. Der Rentenbarwert mit vorschüssiger Zahlung
Die ewige Rente
1. Die ewige nachschüssige Rente
2. Die ewige vorschüssige Rente

Einführung zur Rentenrechnung mit Zinseszinsen

1. Einführung zur Rentenrechnung mit Zinseszinsen

Im Kapitel Ratensparen haben wir Berechnungsformeln für die Berechnungen von Ratensparverträgen kennengelernt. In diesem Kapitel lernen wir nun eine andere und umfangreichere Berechnung dieser „Ratensparverträge“ kennen. Haben wir unter Ratensparen stets nur berechnet, nach wie vielen Raten eine bestimmtes Endkapital erreicht wird und haben dabei immer nur Einzahlungen am Anfang eines Jahres angenommen, ist es in der Rentenrechnung auch möglich, Einzahlungen am Ende eines Jahres vorzunehmen. Es entstehen dadurch zwei neue Begriffe, nämlich
•	Vorschüssige Rentenzahlungen sowie
•	Nachschüssige Rentenzahlungen
Weiterhin ist in der Rentenrechnung auch von Interesse, wie lange ein vorhandenes Kapital ausreicht, wenn man sich Jahr für Jahr einen bestimmten Betrag auszahlen lässt. Rentenrechnung ist also Ratensparen auf der einen Seite sowie Entnahmeplan auf der anderen Seite. Die wichtigsten Begriffe der Rentenrechnung – im folgenden Schritt für Schritt erläutert – sind somit:
•	Berechnung des Rentenendwertes, vorschüssig und nachschüssig
•	Berechnung des Rentenbarwertes, vorschüssig und nachschüssig
•	Regelmäßige Ein- bzw. Auszahlungen, vorschüssig und nachschüssig
•	Ewige Renten

Der Rentenendwert

2. Der Rentenendwert

Rentenendwerte sind die Werte, die nach Ablauf von regelmäßigen Einzahlungen (bzw. Auszahlungen) als effektiver Geldbetrag verfügbar sind. Wir merken uns: Ein- bzw. Auszahlungen zu Beginn eines Jahres werden „vorschüssige Zahlungen“ genannt. Ein- bzw. Auszahlungen am Ende eines Jahres werden „nachschüssige Zahlungen“ genannt.
Folgende Formelzeichen gelten bei der Verzinsung regelmäßiger Zahlungen:
$Fit in Mathe Latex: 17c91eb4417b8d69eb9d9848604c9a0f.png$	Anfangskapital
$Fit in Mathe Latex: f998f82c64d767cee082c6b4805f002f.png$	Endkapital
$Fit in Mathe Latex: 9744a771187ad603d2c4cf3981f27e24.png$	Zinssatz
$Fit in Mathe Latex: 72dfb48a3a43278277eabe83627bce7e.png$	Zinsfaktor mit $Fit in Mathe Latex: 2b7a5c68125930a6652a0194c0a5b64c.png$
$Fit in Mathe Latex: 4b9ea0f31bf7f4e94ff5b11d606fe823.png$	Rate
$Fit in Mathe Latex: 5d8f26f5960e800a6f50dca979c15b6d.png$	Anzahl der jährlichen Zahlungen
Hinweis: Diese Formelzeichen haben wir bereits im Kapitel Ratensparen kennen gelernt.

Der Rentenendwert mit nachschüssiger Zahlung

2.1. Der Rentenendwert mit nachschüssiger Zahlung

Für den Endwert regelmäßiger nachschüssiger Zahlungen gilt:

$Fit in Mathe Latex: 5bf1b3c719f9b0d65079d9b3b6317b67.png$

Beispiele nachschüssige Zahlung

2.1.1.1. Beispiel 1

Herr Maier zahlt 10 Jahre lang am Ende des Jahres 5 000 € auf ein Konto ein. Die Bank bietet einen Zinssatz von 4 %.
Wie hoch ist das Endkapital nach dieser Zeit?

Beispiel 2
Lösung 2

2.1.1.2. Beispiel 2

Das Guthaben bei einer Bank beträgt 12 000 €. Es werden 8 Jahre lang am Ende des Jahres 5 000 € eingezahlt. Die Bank gewährt 5 % Zinseszins.
Auf welchen Betrag ist das Anfangskapital nach 8 Jahren angewachsen?

Beispiel 3
Lösung 3

2.1.1.3. Beispiel 3

Das Guthaben bei einer Bank beträgt 65 000 €. Es werden 8 Jahre lang am Ende des Jahres 5 000 € abgehoben. Die Bank gewährt 4 % Zinseszins.
Auf welchen Betrag ist das Anfangskapital nach 8 Jahren gesunken?

Der Rentenendwert mit voschüssiger Zahlung

2.2. Der Rentenendwert mit voschüssiger Zahlung

Für den Endwert regelmäßiger vorschüssiger Zahlungen gilt:

$Fit in Mathe Latex: e791fd27fce10605f6658e92c687e346.png$

Beispiele vorschüssige Zahlung

2.2.1. Beispiele vorschüssige Zahlung

Beispiel 4
Lösung 4

2.2.1.1. Beispiel 4

Herr Maier zahlt 10 Jahre lang am Anfang des Jahres 5 000 € auf ein Konto ein. Die Bank bietet einen Zinssatz von 4 %.
Wie hoch ist das Endkapital nach dieser Zeit?

Gegeben: R=5000 €; p %=4 %, n=10
Gesucht: K₁₀

$Fit in Mathe Latex: 5e317f7f75aaaecd8d0a3a75e642518b.png$

Der Rentenendwert beträgt 62 431,76 €.

Hinweis:.
Diese Berechnung hätte auch mit den Formeln aus dem Kapitel Ratensparen ausgeführt werden können. Wir erinnern uns an die Formel mit

K_n=R⋅(qⁿ+q^n-1+q^n-2+...+q)

Die Berechnung mit dieser Formel bringt

K₁₀=5000∙(1,04¹⁰+1,04⁹+1,04⁸+⋯+1,04)=5000∙12,48635=62431,76

Es ergibt sich derselbe Rentenendwert

Beispiel 5
Lösung 5

2.2.1.2. Beispiel 5

Das Guthaben bei einer Bank beträgt 12 000 €. Es werden 8 Jahre lang am Anfang des Jahres 5 000 € eingezahlt. Die Bank gewährt 5 % Zinseszins.
Auf welchen Betrag ist das Anfangskapital nach 8 Jahren angewachsen?

Beispiel 6
Lösung 6

2.2.1.3. Beispiel 6

Das Guthaben bei einer Bank beträgt 65 000 €. Es werden 7 Jahre lang am Anfang des Jahres 5 000 € abgehoben. Die Bank gewährt 4 % Zinseszins.
Auf welchen Betrag ist das Anfangskapital nach 7 Jahren gesunken?

Der Rentenbarwert

3. Der Rentenbarwert

Unter dem Rentenbarwert verstehen wir den einmalige Betrag K₀, der bei einer Rentenanstalt einzuzahlen ist, um n Jahre lang entweder am Ende (nachschüssig) oder am Anfang (vorschüssig) eines jeden Jahres eine Rente von R € beziehen zu können bei einem festen Zinssatz von p %.

Der Rentenbarwert mit nachschüssiger Zahlung

3.1. Der Rentenbarwert mit nachschüssiger Zahlung

Den nachschüssigen Barwert K₀ erhalten wir durch Abzinsung des nachschüssigen Rentenendwertes K_n.
Wir berechnen zunächst den Rentenendwert K_n über die Formeln der Kapitalentwicklung mit festem Zinssatz:

$Fit in Mathe Latex: 7f033a5535e3ea49cb9774e7b03da002.png$

Den so ermittelten Rentenendwert setzen wir dem Rentenendwert der nachschüssigen Zahlungen gleich.

$Fit in Mathe Latex: 8606677d59603dc7657df38f28c1df93.png$

Jetzt dividieren wir noch entsprechend den Regeln der Äquivalenzumformung von Gleichungen noch mit qⁿ und erhalten dadurch die Rentenbarwert

$Fit in Mathe Latex: f51ec711483f9a5a5209522e99460e2e.png$

Beispiel 7
Lösung 7

Welcher einmalige Betrag (Barwert) ist bei einer Rentenanstalt einzuzahlen, um bei einem Zinssatz von 6 % 15 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres eine Rente von 5 000 € beziehen zu können?

Der Rentenbarwert mit vorschüssiger Zahlung

3.2. Der Rentenbarwert mit vorschüssiger Zahlung

Den vortschüssigen Barwert K₀ erhalten wir durch Abzinsung des vorschüssigen Rentenendwertes K_n.
Wir berechnen zunächst den Rentenendwert K_n über die Formeln der Kapitalentwicklung mit festem Zinssatz:

$Fit in Mathe Latex: 7f033a5535e3ea49cb9774e7b03da002.png$

Den so ermittelten Rentenendwert setzen wir dem Rentenendwert der vorschüssigen Zahlungen gleich.

$Fit in Mathe Latex: 7532729fa92d628efb7b193644811047.png$

Jetzt wird noch entsprechend den Regeln der Äquivalenzumformung von Gleichungen die Formel mit qⁿ gekürzt und erhalten dadurch die Rentenbarwert.

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Beispiel 8
Lösung 8

Welcher einmalige Betrag (Barwert) ist bei einer Rentenanstalt einzuzahlen, um bei einem Zinssatz von 6 % 15 Jahre lang am Anfang eines jeden Jahres eine Rente von 5 000 € beziehen zu können?

Die ewige Rente

4. Die ewige Rente

Unter einer ewigen Rente verstehen wir die jährliche bzw. monatliche Kapitalentnahme von einem bestehenden Guthaben nur in Höhe der Verzinsung des Guthabens. De facto bleibt der anfänglich eingezahlte Grundbetrag unberührt und lediglich die Zinsen werden abgehoben. Die ewige Rente ist defacto der Zinsertrag einer Kapitalanlage, so wie wir sie im Kapitel Zinsrechnung kennen gelernt haben.

Die ewige nachschüssige Rente

4.1. Die ewige nachschüssige Rente

Es wird das Kapital K₀ gesucht, welches in einem Jahr bei einem Zinssatz von p % Zinsen in Höhe der Rate R der ewigen Rente bringt.

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Beispiel 9
Lösung 9

Welches Kapital K₀ ist anzulegen, damit bei 6 % Jahreszinsen eine nachschüssige ewige Rente von 15 000 € gezahlt werden kann?

Die ewige vorschüssige Rente

4.2. Die ewige vorschüssige Rente

Es wird das Kapital K₀ gesucht, welches in einem Jahr bei einem Zinssatz von p % Zinsen in Höhe der Rate R der ewigen Rente zuzüglich einer ersten Rate zu Beginn der ewigen Rente bringt.

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