Zur Bildung der Ableitung von Funktionen wie |
![Fit in Mathe Latex: 30e7bf0e7e0d9bea3a22fc7980386740.png](/media/latex/30e7bf0e7e0d9bea3a22fc7980386740.png) |
![Fit in Mathe Latex: 5298c5c21ea176e3e26f0a43d0e2fd7d.png](/media/latex/5298c5c21ea176e3e26f0a43d0e2fd7d.png) |
![Fit in Mathe Latex: c7ac3d623e219487988657826605a387.png](/media/latex/c7ac3d623e219487988657826605a387.png) |
können wir keine der bis jetzt bekannten Ableitungsregeln direkt anwenden, da die Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten auftritt. Trotzdem gelingt die Differentiation dieser Funktionen, wenn wir die Funktionsgleichung zunächst logarithmieren. |
Aus |
mit x>0 |
erhalten wir durch Logarithmieren beider Seiten der Gleichung |
![Fit in Mathe Latex: bb0d349e3c5c521eff009cff372a6bb7.png](/media/latex/bb0d349e3c5c521eff009cff372a6bb7.png) |
Die so entstandene Funktionsgleichung können wir nun nach den bekannten Regeln ableiten, in unserem Falle die Ableitung des ln auf der linken Gleichungsseite und der Produktregel auf der rechten Gleichungsseite. |
Betrachten wir zunächst die linke Gleichungsseite mit . Die Ableitung von ist ja . Jetzt haben wir aber nicht sondern , sodass wir zusätzlich noch die Kettenregel benötigen. Somit ist die Ableitung |
![Fit in Mathe Latex: 44da7c086e1fbac786300906a44f7a08.png](/media/latex/44da7c086e1fbac786300906a44f7a08.png) |
Jetzt betrachten wir die rechte Gleichungsseite. Dort steht ja nach dem Logarithmieren , wofür wir ja die Produktregel benötigen. Also: |
![Fit in Mathe Latex: 6c46e9197b002ae897bfccf8a76bc204.png](/media/latex/6c46e9197b002ae897bfccf8a76bc204.png) |
![Fit in Mathe Latex: 6586eff167ca6695fd187d1aa0abf3f0.png](/media/latex/6586eff167ca6695fd187d1aa0abf3f0.png) |
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![Fit in Mathe Latex: d271fd0eddb6c24360ce9e7715bdc75b.png](/media/latex/d271fd0eddb6c24360ce9e7715bdc75b.png) |
![Fit in Mathe Latex: f4a0d2aea11fd9b5045b730cfade64b6.png](/media/latex/f4a0d2aea11fd9b5045b730cfade64b6.png) |
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Nach der Produktregel bilden wir nun u'(x)∙v(x)+v'(x)∙u(x). Dies führt zu: |
![Fit in Mathe Latex: 03cb08d44fac64b47f2ed0249fd6e1a6.png](/media/latex/03cb08d44fac64b47f2ed0249fd6e1a6.png) |
Nun haben wir beide Seiten der logarithmieren Gleichung abgeleitet und haben somit: |
![Fit in Mathe Latex: bdca8e1051f2cb9a8fca502aa7b56a21.png](/media/latex/bdca8e1051f2cb9a8fca502aa7b56a21.png) |
Da wir aber nicht wissen wollen, was sondern was f'(x) ist, müssen wir die Gleichung noch mit f(x) multiplizieren. Dadurch erhalten wir: |
![Fit in Mathe Latex: a6c856aae0092a86d4aeb485e8e1ecbe.png](/media/latex/a6c856aae0092a86d4aeb485e8e1ecbe.png) |
Und da ja ist, letztendlich |
![Fit in Mathe Latex: 724b0b6e7fb1ded5bdb519bf3d3904d6.png](/media/latex/724b0b6e7fb1ded5bdb519bf3d3904d6.png) |