Die Ableitung der Logarithmusfunktion (Umkehrregel)

Video zur Umkehrregel(Laufzeit ca. 3,5 Minuten)

Andere Ableitungen mit der Umkehrregel

Zwar lassen sich auch andere Umkehrfunktionen als die Logarithmusfunktionen mit der Umkehrregel ableiten, dies ist jedoch nur im universitären Bereich von Interesse, teilweise umständlich und hier nur der Vollständigkeit halber aufgeführt.
Für die Funktion f mit ist f^-1(x)=x²+2 wobei f^-1(x) auch als g(y)=y²+2 geschrieben werden kann. Nun gilt genau wie bei der Logarithmusfunktion und bzw. .
Da aber ist, ist .
Dies ist ein recht umständlicher Weg, denn kann zu umgeschrieben werden und damit mit der uns bereits bekannten Potenzregel abgeleitet werden zu .

Für die Ableitung der Umkehrfunktionen von sin, cos und tan wird ebenfalls die Umkehrregel benötigt. Betrachten wir die Umkehrfunktion f der sin-Funktion mit . Ihre Umkehrfunktion lautet f^-1(x)=sin(x) bzw. g(y)=sin(y).
Mit  erhalten wir . Für den relevanten Wertebereich gilt jedoch . Wir können den Nenner der Ableitung somit umschreiben:
, womit wir die endgültige Ableitung von arcsin(x) erhalten haben.
Für die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen gilt:



Auch diese Auflistung dient lediglich der Vollständigkeit. Die Umkehrregel ist für uns somit nur von Interesse für die Ableitung der Logarithmusfunktion und wir merken uns: