WIKI Produktregel bzw. Quotientenregel


Ableitungen - Produktregel und Quotientenregel

Definition des Begriffs Ableitung

Merksatz Ableitung

Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x₀ ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt P(x|f(x)). Sie entsteht über den Grenzwert des Differenzenquotienten $Fit in Mathe Latex: b8c0762173c136af5f19f317504cc417.png$ für Δx→0.

Produkt- und Quotientenregel - Einleitung

Bisher haben wir die einfachen Ableitungsregeln kennengelernt. Jetzt gibt es aber auch aus einzelnen Produkten bzw. Quotienten zusammengesetzte Funktionsgleichungen wie etwa f(x)=(2x+3)⁴⋅(e^-x+x) oder auch $Fit in Mathe Latex: ce8ed6fb94b1c74ac3dc5e2395c5a45a.png$ .
Im ersteren Falle könnten wir zwar mit Ausmultiplizieren einzelne Funktionsglieder erhalten, die wir mit den bekannten Regeln ableiten könnten, allerdings wäre das eine sehr umständliche Vorgehensweise. Im zweiten Fall ist ein Ausmultiplizieren nicht möglich.
Um derart gestaltete Funktionen ableiten zu können, existieren zwei zusätzliche Regeln, nämlich die Produktregel und die Quotientenregel. Wie der Name schon sagt, wird die Produktregel für Produkte und die Quotientenregel eben für Quotienten eingesetzt.
Um die Produkt- und Quotientenregel kennen zu lernen, kannst du dir die folgenden Videos betrachten, oder aber du liest dir die verbalen Beschreibungen im Einzelnen durch.

Videos zur Produkt- und Quotientenregel

Regeln und Beispiele

Produktregel

Mit zwei Funktionen u und v können wir ein Produkt bilden. Mit u(x)=x² und v(x)=x³ erhalten wir f mit f(x)=u(x)⋅v(x)=x²⋅x³=x⁵.
Während Summen von Funktionen gliedweise abgeleitet werden, gilt das für Produkte nicht. So hat unser Beispiel f(x)=x⁵ die Ableitung f'(x)=5x⁴.
Würden wir nun u(x) und v(x) einzeln ableiten und dann erst multiplizieren, erhielten wir mit u'(x)=2x und v'(x)=3x² aus f'(x)=u'(x)⋅v'(x)=2x⋅3x²=6x³ ein ganz anderes (falsches) Ergebnis.
Wollen wir also die Ableitung eines Produkts f=u⋅v zweier Funktionen u und v bestimmen, deren Ableitung wir kennen, so müssen wir den Differenzenquotienten von f auf die Differenzenquotienten von u und v zurückführen. Es ist also:

Graphik zur Produktregel im WIKI Ableitungen mit der Produkt- bzw. Quotientenregel /© by Fit-in-Mathe-Online

Wir deuten nun die beiden Produkte im Zähler u(x₀+h)⋅v(x₀+h) und u(x₀)⋅v(x₀) als Flächeninhalte von Rechtecken mit den Seitenlängen u(x₀+h) und v(x₀+h) bzw. den Seitenlängen u(x₀) und v(x₀). Wir erhalten dadurch eine Idee für eine mögliche Umformung der Differenz
u(x₀+h)⋅v(x₀+h)-u(x₀)⋅v(x₀).
Die Subtraktion der beiden Rechteckflächen u(x₀+h)⋅v(x₀+h)-u(x₀)⋅v(x₀) lässt sich umformen zu:
u(x₀+h)⋅v(x₀+h)-u(x₀)⋅v(x₀)=
$Fit in Mathe Latex: bfee11c21398d02b01e598a4a15ed911.png$
Für den Differenzenquotienten (*) gilt damit: Vom Differenzenquotienten zum Differenziualquotienten der Produktregel im WIKI Ableitungen mit der Produkt- bzw. Quotientenregel /© by Fit-in-Mathe-Online

Vom Differenzenquotienten zum Differenziualquotienten der Produktregel im WIKI Ableitungen mit der Produkt- bzw. Quotientenregel /© by Fit-in-Mathe-Online

Merksatz Produktregel

	Die Produktregel lautet: Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion f=u⋅v mit f(x)=u(x)⋅v(x) differenzierbar und es gilt:
	f'(x)=u'(x)⋅v(x)+u(x)⋅v'(x)

Ohne auf den mathematischen Beweis einzugehen, lässt sich die Produktregel auch auf mehr als nur zwei Funktionen u und v erweitern. Für drei Funktionen u, v und w ergibt sich f zu f(x)=u(x)⋅v(x)⋅w(x). Die Ableitung nach der Produktregel lautet dann:
f'(x)=u'(x)⋅v(x)⋅w(x)+u(x)⋅v'(x)⋅w(x)+u(x)⋅v(x)⋅w'(x).
Diese Erweiterung lässt sich auf eine beliebige Anzahl von mulitplikativ verknüpften Einzelfunktionen ausdehnen.

Beispiele

Beispiel 1
Lösung 1

Beispiel 1

Bestimme die Ableitung der Funktion f und g mit f(x)=(x³+1)⋅cos(x) und $Fit in Mathe Latex: 93a8addd1990c3a96c05344076f1c25f.png$ .

Beispiel 2
Lösung 2

Beispiel 2

Bestimme die Ableitung der Funktion f mit f(x)=5x⋅(1-x)².

Quotientenregel

Mit zwei Funktionen u und v können wir einen Quotienten bilden. Mit u(x)=x² und v(x)=x³ erhalten wir f mit $Fit in Mathe Latex: eee083d0c833db54d936b22e7dc932a1.png$ .
Während Summen von Funktionen gliedweise abgeleitet werden, gilt das für Quotienten nicht. So hat unser Beispiel $Fit in Mathe Latex: 69ef7f6118f5ddf68fa0f0443038c794.png$ die Ableitung $Fit in Mathe Latex: 1818e6af368fc93c487de0816d89886d.png$ .
Würden wir nun u(x) und v(x) einzeln ableiten und dann erst dividieren, erhielten wir mit u'(x)=2x und v'(x)=3x² aus $Fit in Mathe Latex: 00e3707a9f5e981b1793a89699ef591d.png$ ein ganz anderes (falsches) Ergebnis.
Um Quotienten von Funktionen ableiten zu können, fassen wir $Fit in Mathe Latex: 36bbf31b3f8432cf41a8d0d7f7ee43a8.png$ als Produkt zweier Funktionen auf mit $Fit in Mathe Latex: 14d86e3a9e228b7fa45fc35876948569.png$ . Auf diese Weise können wir f nach den uns bislang bekannten Regeln ableiten. Die Funktion k mit $Fit in Mathe Latex: 446d149eecbd932d5f39d872a5e9bb2a.png$ hat nach der bereits behandelten Kettenregel die Ableitung $Fit in Mathe Latex: c3a08315c3c296d9eb85b1125023da5b.png$ .
Mithilfe der Produktregel ergibt sich dann für $Fit in Mathe Latex: 14d86e3a9e228b7fa45fc35876948569.png$ :
$Fit in Mathe Latex: d98f48f0ad810dece1a9874aac996b74.png$

Merksatz Quotientenregel

	Die Quotientenregel lautet: Sind zwei Funktionen u und v differenzierbar, so ist auch die Funktion $Fit in Mathe Latex: 7300c7edb77b5d35d9a95de72adff675.png$ mit $Fit in Mathe Latex: 471fd152046cd3c7a9cd5c5ebe7230eb.png$ differenzierbar und es gilt:
	$Fit in Mathe Latex: 94bbcf4dfba994ae83edd4083873407b.png$