WIKI Ableitung der Exponentialfunktion


Die Ableitung der Exponentialfunktion

Definition des Begriffs Ableitung

Merksatz Ableitung

Merksatz Begriff Ableitung/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Die Ableitung der Exponentialfunktion - Einleitung

Nachdem wir nun (fast) alle Ableitungsregeln kennengelernt haben, verbleibt noch die Regel für die Ableitung der Exponentialfunktion.
Wir kennen ja bereits die Form einer Exponentialfunktion f mit f(x)=a⋅ b^x. Selbstverständlich hat eine solche Funktion eine Änderungsrate und somit auch eine Ableitung. In diesem Kapitel lernen wir die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen kennen.
Du kannst dir den nachfolgenden Video betrachten oder aber du liest dir die verbale Beschreibung im Einzelnen durch.

Video zur Ableitung der Exponentialfunktion (Laufzeit ca. 5,5 Minuten)

Die Exponentialfunktion ableiten

Wir betrachten uns hierzu als erstes die natürliche Exponentialfunktion f mit
f(x)=e^x (e ist die Eulersche Zahl und hat den Wert e=2,78128..., eine irrationale Zahl).
Wie bei anderen Funktionen auch, stellen wir den Differenzenquotienten auf mit

$Fit in Mathe Latex: ad5e945645eb58315b7ca9e1e909ff0f.png$

Graphik des Differenzenquotienten/Differenzialquotienten im WIKI Ableitung der Exponentialfunktion /© by Fit-in-Mathe-Online

Dieser Differenzenquotient sellt die Steigung der Sekante durch die Punkte B und B' dar.
Wie bei allen anderen Nachweisen auch, lassen wir nun den Wert von h gegen 0 laufen, sodass letztendlich der Punkt B' mit dem Punkt B zusammenfällt und aus der Sekante damit eine Tangente an den Graphen von f entstanden ist. Wir bilden also den Differenzialquotienten
$Fit in Mathe Latex: 48c4b67f2d1441e0df7b24be08b2aa1f.png$ .
Um dies bewerkstelligen zu können, müssen wir zunächst gemäß den Potenzregeln einige Umformungen vornehmen. Gemäß der 1. Potenzregel formen wir um:
$Fit in Mathe Latex: 313a887ef4346f413524f6d05aea20c3.png$
$Fit in Mathe Latex: 33483a9bdbf71efca4a9ae66251ed810.png$
$Fit in Mathe Latex: 5fbeb9391b34f465542eb7092919f5bf.png$
Jetzt müssen wir noch für den Ausdruck $Fit in Mathe Latex: 50f6aac4047ea48d3a568965597b57b9.png$ den Grenzwert für $Fit in Mathe Latex: 959bc21e0093f13e0673873cf4d17455.png$ untersuchen.
Ohne an dieser Stelle auf den näheren Beweis eingehen zu wollen - dieser erfolgt im Kapitel "Funktionsklassen → Exponentialfunktion → Die e-Funktion" -, gilt:

$Fit in Mathe Latex: edf852c2123e3c193d5342cfb3158ff5.png$

Durch Umformung erhalten wir:

$Fit in Mathe Latex: 0910851e60fc7c8e471a4748be269485.png$

$Fit in Mathe Latex: 69b5a4f9cb720dd7715c621bf92ba050.png$

und damit

$Fit in Mathe Latex: 57705dace6678fca5428fd9fd0ed9911.png$ .

Mit anderen Worten:
Die Steigung der Tangente an die Exponentialfunktion e^x an der Stelle x₀ ist immer gleich deren Funktionswert an der Stelle x₀.

Merksatz Ableitung der Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion mit f(x)=e^xlautet f'(x)=e^x.

Höhere Ableitungen der Exponentialfunktion

Jetzt kommt f(x)=e^x aber nicht alleine vor, sondern wird die Exponentialfunktion in fast allen Fällen mit anderen Funktionsarten verkettet. In diesem Falle gelten alle Ableitungsregeln, die wir nun kennen. Am besten schaust du dir die nachfolgenden Beispiele an.

Beispiele

Beispiel 1

Beispiel 1

$Fit in Mathe Latex: 2d959f5217021c80ae144bffa220e8b3.png$

Es gilt die Faktorregel, Faktoren bleiben bei der Ableitung erhalten.

Beispiel 2

Beispiel 2

$Fit in Mathe Latex: e5b64b9be30c4cb1ea86fe95a4766b5b.png$

Es gilt die Kettenregel, die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion mit u(x)=e^x, die innere Funktion ist der Exponent von e mit v(x)=b⋅x und somit ist f(x)=u(v(x))=e^b⋅x und f'(x)=u'(x)⋅v'(x)=b⋅e^b⋅x.

Beispiel 3

Beispiel 3

$Fit in Mathe Latex: e813157c5078f0b72f1bc60b71cd7ad1.png$

Auch hier gilt die Kettenregel wie im Beispiel 2.

Beispiel 4

Beispiel 4

$Fit in Mathe Latex: 127b3c7fc7a8819245bddd0355956f67.png$

Hier gilt zunächst die Summenregel, nach der alle Glieder einzeln abgeleitet werden und für die e-Funktion die Kettenregel wie in Beispiel 2.
Wie du in den Beispielen erkennst, ändert sich der Exponent der e-Funktion nie, dieser bleibt immer erhalten, so wie er ursprünglich vorgegeben ist. Dies führt uns zu einem sehr wichtigen

Merksatz 2 zur Exponentialfunktion

Bei der Ableitung der Exponentialfunktion mit f(x)=a⋅e^b⋅x+cverändert sich durch die Ableitung der Exponent der e-Funktion zu keinem Zeitpunkt. Auf den Exponenten der e-Funktion ist bei jeder Ableitung stets die Kettenregel anzuwenden.

Die Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion

Die allgemeine Exponentialfunktion lautet:
                            f(x)=a^x.
Wie aber sieht nun die Ableitung einer Exponentialfunktion mit einer anderen Basis als e aus? Nachdem wir ja die Ableitung der e-Funktion kennen, machen wir uns für den Ableitungsnachweis der allgemeinen Exponentialfunktion die Potenzgesetze und Logarithmengesetze zu eigen.
Die Potenz a^x lässt sich auch schreiben mit $Fit in Mathe Latex: 095bcbd853aa2ccf454ecde3316a884c.png$ . Alternativ zum 10-er Logarithmus können wir auch den natürlichen Logarithmus ln verwenden. Dadurch erhalten wir
         $Fit in Mathe Latex: f2378a542ec164b2e33865a04f21a6cd.png$ .
Und da wir ja die Ableitung der e-Funktion bereits kennen, ist
                              $Fit in Mathe Latex: d30d52f61cd2ee4f1214498104eb4ebd.png$ .
Wir schreiben $Fit in Mathe Latex: df92818758c508001e3a347c23540c70.png$ wieder um zu $Fit in Mathe Latex: b36209fbd3eacbc005d0a9ee954adb83.png$ und erhalten endgültig
                                        f'(x)=ln(a)⋅a^x.

Merksatz Ableitung der Exponentialfunktion allgemein

Die Ableitung der Exponentialfunktion mit f(x)=a^xlautet
f'(x)=ln (a)⋅a^x.

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