Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen Aufgaben und Lösungen/© by www.fit-in-mathe-online.de

Nullstellen ganzrationaler Funktionen - Level 2 - Fortgeschritten - Blatt 2

Dokument mit 33 Aufgaben

Aufgabe A1 (3 Teilaufgaben)
Lösung A1

Aufgabe A1 (3 Teilaufgaben)

Lies die Nullstellen an den Graphen ab und ermittle einen möglichen Funktionsterm.

Abbildung a). (Grafik A220101 im Aufgabensatz 1 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 1/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Abbildung b). (Grafik A220102 im Aufgabensatz 1 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 2/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Abbildung c). (Grafik A220103 im Aufgabensatz 1 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 3/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Aufgabe A2 (4 Teilaufgaben)
Lösung A2

Aufgabe A2 (4 Teilaufgaben)

Berechne die Nullstellen nachfolgender Funktionsgleichungen durch Faktorisieren und dem Satz vom Nullprodukt. In manchen Fällen musst du noch Substitution anwenden.

Berechne die Nullstellen nachfolgender Funktionsgleichungen durch Faktorisieren und dem Satz vom Nullprodukt. (Grafik A220201 im Aufgabensatz 2 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 1)/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Aufgabe A3 (4 Teilaufgaben)
Lösung A3

Aufgabe A3 (4 Teilaufgaben)

Bestimme die exakten Nullstellen durch Faktorisieren und dem Satz vom Nullprodukt.

Aufgabe A4 (4 Teilaufgaben)
Lösung A4

Aufgabe A4 (4 Teilaufgaben)

Bestimme die exakten Nullstellen durch Substitution und Resubstitution.

Aufgabe A5 (6 Teilaufgaben)

Löse die Gleichungen mithilfe einer Resubstitution.

Aufgabe A6

Löse die Gleichungen aus Aufgabe A5 mit dem Substitutions-Ersatz.

Lösungshilfe A6

Haben wir es mit biquadratischen Gleichungen zu tun, so wird im allgemeinen die biquadratische Gleichung mit Substitution in eine rein quadratische Gleichung überführt, die dann mittels Mitternachtsformel gelöst wird. Ist diese Lösung bekannt, müssen dann die Lösungen der Gleichung mittels Resubstitution noch gefunden werden. Die Vorgehensweise Substitution / Resubstitution kann aber auf einfache Weise auch übergangen werden. Wer will uns denn verbieten, dass wir bei einer Gleichung von z. B. x⁴+bx²+c=0 die Mitternachtsformel direkt anwenden, wie im Folgenden gezeigt wird.
x⁴+bx²+c=0
$Fit in Mathe Latex: 15746465aeee7ac05b9c1f7e458c6392.png$		p/q-Formel
Somit haben wir die Substitutionsvariable lediglich durch x² ersetzt. Und nach der Ausrechnung von x² müssen wir dann nur noch die Wurzel des/der Ergebnisse(s) ziehen. Zum Studieren dieser Vorgehensweise siehe die nachfolgenden Lösungen.

Aufgabe A7 (3 Teilaufgaben)
Lösung A7

Aufgabe A7 (3 Teilaufgaben)

Eine ganzrationale Funktion hat mindestens die Nullstellen x₁=-3 und x₂=2. Skizziere einen möglichen Graphen, wenn
a)	die Funktion gerade ist.
b)	der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
c)	der Graph nicht unterhalb der x-Achse verläuft.

Aufgabe A8 (4 Teilaufgaben)
Lösung A8

Aufgabe A8 (4 Teilaufgaben)

Für Aufgaben, bei denen die Nullstellen bzw. Linearfaktoren ganzrationaler Funktionen ermittelt werden sollen, werden aus den Linearfaktoren (x+2), (x-3) und (x-4) sowie dem Klammerausdruck (x²+1) Funktionsterme mit vorgegebenen Eigenschaften in ausmultiplizierter Form erzeugt.
a)	Der Grad der Funktion soll 3 bzw. 5 sein.
b)	Die Funktion soll den Grad 4 bzw. 6 und genau zwei Nullstellen haben.
c)	Die Funktion soll keine Nullstellen und einen Grad größer als 3 haben.
d)	Die Funktion hat den Grad 4, das Absolutglied im Funktionsterm ist 12.

Aufgabe A9 (3 Teilaufgaben)
Lösung A9

Aufgabe A9 (3 Teilaufgaben)

Die Graphen gehören zu ganzrationalen Funktionen. Ermittle einen Funktionsterm.

Abbildung a). (Grafik A220901 im Aufgabensatz 9 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 1/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Abbildung b). (Grafik A220902 im Aufgabensatz 9 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 2/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Abbildung c). (Grafik A220903 im Aufgabensatz 9 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 3/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Aufgabe 10 (3 Teilaufgaben)
Lösung A10

Aufgabe 10 (3 Teilaufgaben)

Abbildung a). (Grafik A221001 im Aufgabensatz 10 Blatt 2/2 Fortgeschritten zu Ganzrationalen Funktionen in den Funktionsklassen Bild 1/© by www.fit-in-mathe-online.de)

Die nebenstehende Graphik zeigt zwei ganzrationale Funktionen.
Ermittle jeweils einen Funktionsterm.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen - Level 2 - Fortgeschritten - Blatt 2

: Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller; Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021


	Ganzrationale Funktionen vom Grad n haben höchstens n Nullstellen. Deren Nullstellen kann man, je nachdem in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, mit folgenden Verfahren bestimmen:
	- durch Wurzelziehen	z.B. f(x)=x²-16
	- durch Ablesen bei Linarfaktozerlegung	z.B. f(x)=2(x+3)(x-1)(x-4)
	- durch Ausklammern von Potenzen von x	z.B. f(x)=x⁵-5x²=x²(x³-5)
	- durch Substitution	z.B. f(x)=x⁴-3x²+2 =z²-3z+2 mit z=x²
	- durch Polynomdivision	z.B. f(x)=x³-5x²-2x+24 =(x+2)(x²-7x+12)

Nullstellen ganzrationaler Funktionen - Level 2 - Fortgeschritten - Blatt 2

Aufgabe A1 (3 Teilaufgaben)

Lösung A1

Aufgabe A2 (4 Teilaufgaben)

Lösung A2

Aufgabe A3 (4 Teilaufgaben)

Lösung A3

Aufgabe A4 (4 Teilaufgaben)

Lösung A4

Aufgabe A5 (6 Teilaufgaben)

Lösung A5 a) - c)

Lösung A5 d) - f)

Aufgabe A6

Lösungshilfe A6

Lösung A6

Aufgabe A7 (3 Teilaufgaben)

Lösung A7

Aufgabe A8 (4 Teilaufgaben)

Lösung A8

Aufgabe A9 (3 Teilaufgaben)

Lösung A9

Aufgabe 10 (3 Teilaufgaben)

Lösung A10