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Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen

Oftmals ist es von Interesse, wie die Graphen zweier oder mehrerer Funktionen zueinander liegen. Dabei wollen wir wissen, ob sie sich einmal, zwei Mal, mehrfach oder überhaupt nicht schneiden. Von Interesse ist ebenfalls, ob die Schnittpunkte - falls vorhanden - Berührpunkte oder echte Schnittpunkte sind.
Dieses Verhalten können wir feststellen, wenn wir die Funktionsgleichungen der Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen. Hierzu betrachten wir uns Beispiele.

Beispiel 5
Lösung 5

Beispiel 5

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit $Fit in Mathe Latex: 64531057b3e98005d4b413c707f1d39b.png$ und $Fit in Mathe Latex: acb77f6d17afd12c0188effbf9c36195.png$ .
Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 6
Lösung 6

Beispiel 6

Zwei ganzrationale Funktionen f und g mit f(x)=x⁴-4x² und g(x)=-2x²+3 sind gegeben.
Die gegenseitige Lage der beiden Funktionen ist zu bestimmen.

Beispiel 7
Lösung 7

Beispiel 7

Die zwei ganzrationale Funktionen f und g mit $Fit in Mathe Latex: 6fd9df562134510ae7cb24ddfa903f40.png$ und $Fit in Mathe Latex: 9e26744b75be41d39d32136b8acbbb02.png$ sind gegeben. Bestimmung der gegenseitigen Lage der beiden Funktionen soll erfolgen.

Beispiel 8
Lösung 8

Beispiel 8

Es sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit $Fit in Mathe Latex: 43ad4451e9bda3857c163d2db39a9c88.png$ und $Fit in Mathe Latex: 6291e9cd03e9ed0fec718138bad4d550.png$ gegeben. Bestimme von den beiden Funktionen deren gegenseitige Lage.

Beispiel 9
Lösung 9

Beispiel 9

Die ganzrationalen Funktionen f und g mit $Fit in Mathe Latex: 5d75c96c71f778d1bca5543e178d2568.png$ und $Fit in Mathe Latex: 52ccf0e75392f68162648a61b940228d.png$ sind gegeben. Von beiden Funktionen soll die gegenseitige Lage bestimmt werden.

Beispiel 10
Lösung 10

Beispiel 10

Zwei ganzrationale Funktionen f und g sind gegeben mit $Fit in Mathe Latex: 5e2f34528e0eca682d9b5043e8a57441.png$ und $Fit in Mathe Latex: 76b95ae33a74eae74e4f9a53db6406fb.png$ . Bestimmt werden soll die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 11
Lösung 11

Beispiel 11

Es sind zwei ganzrationale Funktionen f und g gegeben mit $Fit in Mathe Latex: db236714ca55b40aead0faf4e3fd1a34.png$ und $Fit in Mathe Latex: bb2ae4975d82f3ebc7ad7ff5ce85aa67.png$ .
Zeige: Die zugehörigen Schaubilder f und g schneiden sich nicht für x > 0.
Wie liegen f und g für x > 0 zueinander?

: Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller; Zuletzt aktualisiert: 09. September 2019 09. September 2019

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: bb02c1b79e7b0ec83dff8920483f5f47.png$
$Fit in Mathe Latex: 71b5362e2f147c1d82d49e9bc3a255cb.png$
Die Lösung dieser Gleichung führt zu 3 Lösungen mit: x₁=-2; x₂=2 und x₃=6 Berechnung der y-Werte: g(-2)=1; g(2)=1; g(6)=5
Die beiden Graphen schneiden sich in den drei Punkten S₁(-2│1); S₂(2\|1) sowie S₃(6\|5). Die Schnittpunkte sind einfache Schnittpunkte.

Wir bilden f ∩ g:
x⁴-4x²=-2x²+3
x⁴-2x²-3=0
Die Lösung dieser Gleichung führt zu 2 Lösungen mit: $Fit in Mathe Latex: e7ec128966c89e135e67e635d8224d80.png$ und $Fit in Mathe Latex: 43717aa1f55e0cde436ab23e60fd85f3.png$ . Berechnung der y-Werte: $Fit in Mathe Latex: a14c393fba9cacb43b766f51d7d6e9dd.png$
Die beiden Graphen schneiden sich in den zwei Punkten $Fit in Mathe Latex: 4c7aecc326da66ae57db85d8daf80617.png$ und $Fit in Mathe Latex: d3893af79082b9a926321f05ef7d1780.png$ . Die beiden Schnittpunkte sind einfache Schnittpunkte.

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: 8676de4bf48a4eb106baf035bc37462c.png$
$Fit in Mathe Latex: 771bf6d7552de513bba756fb76ee5264.png$
Die Lösung dieser Gleichung führt zu 2 Lösungen mit: x₁=-4 und x_2,3=2. Berechnung der y-Werte: g(-4)=8; g(2)=5
Die beiden Graphen schneiden sich in den zwei Punkten S₁(-4\|8) und S₂(2\|5). Da sich bei der Gleichungslösung die Schnittstellen x₂ und x₃ zu 2 ergaben, ist S₁ eine einfache und S₂ eine doppelte Schnittstelle, ein Berührpunkt.

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: fc6098941a7c007d3af5fcd6dac915aa.png$
$Fit in Mathe Latex: ae1b38ec850d304504d7d0237d3d14db.png$
Die Lösung dieser Gleichung führt zu einer Lösungen mit x₁=-2. Berechnung des y-Wertes: g(-2)=4
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt S₁(-2\|4). S₁ ist eine einfache Schnittstelle.

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: ff174c41d4fad22ef5f463b9636849fc.png$
1≠0
Diese Gleichung hat keine Lösung. Die beiden Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt.

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: ff323767cf46ff23695f6d95b9dd3728.png$
$Fit in Mathe Latex: c0d0a97aa9ab7894eebe77cb02ff6bbe.png$
Die Lösung dieser Gleichung führt zu 2 Lösungen mit: x₁=-2 und x_2,3,4=2. Berechnung der y-Werte: $Fit in Mathe Latex: 486c064ccea32ab6796463e7f22ef1e7.png$ Die beiden Graphen schneiden sich in den Punkten $Fit in Mathe Latex: 47e96b7d0e44a39dad6eee9ba6b18d6b.png$ und $Fit in Mathe Latex: 752b0fba29811d3ff5084ceb4e8062d3.png$ .
Da sich bei der Gleichungslösung die Schnittstellen x₂, x₃ und x₄ zu 2 ergaben, ist S₁ eine einfache und S₂ eine dreifache Schnittstelle (die Steigungen von f und g in x=2 sind gleich groß).

Wir bilden f ∩ g:
$Fit in Mathe Latex: 273b48e42fb4f4da9c44f0ed48521ce4.png$
$Fit in Mathe Latex: 51c24793bc10bd2b6167d6a5394284ef.png$
Für x > 0 ist die linke Seite der Gleichung immer größer null. Die Gleichung hat also für x > 0 keine Lösung. Die zugehörigen Schaubilder f und g schneiden sich nicht für x > 0. Wegen f(0)=0 > g(0)=-1 gilt: f *verläuft für x > 0* oberhalb** von g.