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Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen

Oftmals ist es von Interesse, wie die Graphen zweier oder mehrerer Funktionen zueinander liegen. Dabei wollen wir wissen, ob sie sich einmal, zwei Mal, mehrfach oder überhaupt nicht schneiden. Von Interesse ist ebenfalls, ob die Schnittpunkte - falls vorhanden - Berührpunkte oder echte Schnittpunkte sind.
Dieses Verhalten können wir feststellen, wenn wir die Funktionsgleichungen der Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen. Hierzu betrachten wir uns Beispiele.

Beispiel 5
Lösung 5

Beispiel 5

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

.
Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 6
Lösung 6

Beispiel 6

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit f(x)=x⁴-4x² und g(x)=-2x²+3.
Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 7
Lösung 7

Beispiel 7

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

. Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 8
Lösung 8

Beispiel 8

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

. Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 9
Lösung 9

Beispiel 9

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

. Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 10
Lösung 10

Beispiel 10

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

. Bestimme die gegenseitige Lage der beiden Funktionen.

Beispiel 11
Lösung 11

Beispiel 11

Gegeben sind zwei ganzrationale Funktionen f und g mit

und

.
Zeige: Die zugehörigen Schaubilder f und g schneiden sich nicht für x > 0.
Wie liegen f und g für x > 0 zueinander?

: Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller; Zuletzt aktualisiert: 13. Juli 2019 13. Juli 2019

Wir bilden f ∩ g:
x⁴-4x²=-2x²+3
x⁴-2x²-3=0
Die Lösung dieser Gleichung führt zu 2 Lösungen mit: und . Berechnung der y-Werte:
Die beiden Graphen schneiden sich in den zwei Punkten und . Die beiden Schnittpunkte sind einfache Schnittpunkte.

Wir bilden f ∩ g:


Die Lösung dieser Gleichung führt zu 3 Lösungen mit: x₁=-2; x₂=2 und x₃=6 Berechnung der y-Werte: g(-2)=1; g(2)=1; g(6)=5
Die beiden Graphen schneiden sich in den drei Punkten S₁(-2│1); S₂(2\|1) sowie S₃(6\|5). Die Schnittpunkte sind einfache Schnittpunkte.

Wir bilden f ∩ g:


Die Lösung dieser Gleichung führt zu einer Lösungen mit x₁=-2. Berechnung des y-Wertes: g(-2)=4
Die beiden Graphen schneiden sich im Punkt S₁(-2\|4). S₁ ist eine einfache Schnittstelle.

Wir bilden f ∩ g:

1≠0
Diese Gleichung hat keine Lösung. Die beiden Graphen haben keinen gemeinsamen Punkt.

Wir bilden f ∩ g:


Die Lösung dieser Gleichung führt zu 2 Lösungen mit: x₁=-2 und x_2,3,4=2. Berechnung der y-Werte: Die beiden Graphen schneiden sich in den Punkten und .
Da sich bei der Gleichungslösung die Schnittstellen x₂, x₃ und x₄ zu 2 ergaben, ist S₁ eine einfache und S₂ eine dreifache Schnittstelle (die Steigungen von f und g in x=2 sind gleich groß).

Wir bilden f ∩ g:


Für x > 0 ist die linke Seite der Gleichung immer größer null. Die Gleichung hat also für x > 0 keine Lösung. Die zugehörigen Schaubilder f und g schneiden sich nicht für x > 0. Wegen f(0)=0 > g(0)=-1 gilt: f *verläuft für x > 0* oberhalb** von g.


	In der Mathematik ist eine Funktion (lateinisch functio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der Definitionsmenge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein und nur ein Element der Wertemenge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet.

Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen

Gegenseitige Lage von Kurven

Beispiel 5

Beispiel 6

Beispiel 7

Beispiel 8

Beispiel 9

Beispiel 10

Beispiel 11

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