 |
Globalverhalten gebrochen-rationaler Funktionen |
2. Die waagrechte Asymptote
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Verlauf von K im Unendlichen. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere das globale Verhalten.Wie bei den bisher kennengelernten Funktionen errechnen wir auch hier die Funktionswerte f(-∞) und f(∞). Wenn wir nun  bilden, so wird ja die 1 im Zähler durch eine riesengroße negative Zahl dividiert, was im Endeffekt zu einem Grenzwert 0 des Bruches führt. Da diesem Grenzwert eine 2 hinzuaddiert wird, läuft der Funktionswert f(-∞) gegen 2. Die 2 ist also offensichtlich ein Grenzwert der Funktion f am linken Systemrand. Ähnlich verhält es sich am rechten Systemrand. Mit  wird die 1 im Zähler durch eine riesengroße positive Zahl dividiert, was wiederum zu einem Grenzwert 0 des Bruches und einem Grenzwert 2 der Funktion f am rechten Systemrand führt. In beiden Fällen nähert sich der Funktionswert der 2. Wir können somit schreiben: |
 |
| Die Kurve nähert sich im Unendlichen also einer Parallelen zur x–Achse im Abstand 2. Eine solche Parallele heißt waagrechte Asymptote. |
 |
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Verlauf von K im Unendlichen. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere das globale Verhalten.| Zunächst erkennen wir bei dieser gebrochen-rationalen Funktion, dass sie eine Polstelle bei x0=2 besitzt, bei diesem x–Wert wird der Nenner des Funktionsterms 0. Unsere Beispielfunktion hat nun sowohl im Zähler als auch im Nenner die Variable x stehen. Es ist eine echt gebrochen-rationale Funktion, da die Potenz des Zählers kleiner ist als die des Nenners. Zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens am Systemrand müssen wir nun zuerst eine kleine Umformung des Funktionsterms vornehmen. Hierfür gibt es zwei Verfahren, die jedoch zum selben Ergebnis führen. |
2.2.1. Verfahren 1: Ausklammern
 |
|
| Den so umgewandelten Term können wir nun um x2 kürzen. | |
 |
|
| und überlegen uns erst jetzt, was an den Systemrändern passiert. Für  ist der Grenzwert des Restteils  im Nenner 0. Es verbleibt lediglich die Untersuchung, was für mit dem Teilterm  passiert. Und der läuft auch eindeutig auf die 0 zu. Wir können also schreiben: |
|
 |
|
| Die Kurve nähert sich im Unendlichen also der x–Achse selbst, der Asymptoten y=0. |
 |
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Verlauf von K im Unendlichen. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere das globale Verhalten.| Zunächst erkennen wir bei dieser gebrochen-rationalen Funktion, dass sie keine Polstelle besitzt, denn der Nenner x2+1 kann niemals 0 werden. Wie in Beispiel 2 klammern wir die höchste im Zähler vorkommenden Potenz von x aus. |
|
 |
|
| und kürzen | |
 |
|
Für  ist der Grenzwert der Restteile  im Zähler und Nenner 0. Es verbleibt lediglich der Bruch  . Der Graph der Funktion läuft im Unendlichen gegen 1. Wir können also schreiben: |
|
 |
|
| Die Kurve nähert sich im Unendlichen also einer Parallelen zur x–Achse im Abstand 1, der Asymptoten y=1. | |
 |
3. Die schiefe Asymptote
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Verlauf von K im Unendlichen. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere das globale Verhalten.| Zunächst erkennen wir bei dieser gebrochen-rationalen Funktion, dass sie eine Polstelle bei x0=-1 besitzt. Im Gegensatz zu Beispiel 1, Beispiel 2 und Beispiel 3 haben wir es mit einer unecht gebrochen-rationalen Funktion zu tun, denn die höchste Potenz von x im Zähler ist größer als die höchste Potenz von x im Nenner. Aus dem bislang Gelernten könnten wir jetzt folgern, dass der Zähler mit der höchsten Potenz x2 schneller wächst als der Nenner mit der höchsten Potenz x1 und die Kurve somit gegen ∞ läuft. Für  nach -∞ und für  nach +∞. Die Kurve verläuft also aus dem III. Quadranten in den I. Quadranten.Für die Beschreibung des globalen Verhaltens würde dies zwar ausreichen, nicht aber für das asymptotische Verhalten. Unecht gebrochen-rationale Funktionen verfügen unter Umständen noch über eine schiefe Asymptote oder gar eine Näherungskurve im Unendlichen. Zur Feststellung dieses Verhaltens ist bei solchen Funktionstermen zunächst eine Polynomdivision erforderlich. |
|
 |
|
| Die Polynomdivision geht nicht auf, wir erhalten einen Rest von -2. Das Ergebnis der Division lässt sich somit auch schreiben: | |
 |
|
| was zum geänderten Funktionsterm | |
 |
|
| führt. Erst jetzt dürfen wir die Grenzbetrachtung für  durchführen, wobei wir feststellen, dass dann ja der Restterm  gegen 0 läuft. Die Kurve nähert sich im Unendlichen also immer mehr einer Geraden mit der Funktionsgleichung g(x)=x. Wir schreiben somit: |
|
 |
|
| Die Kurve nähert sich im Unendlichen der schiefen Asymptote y=x. | |
 |
4. Näherungskurven
. Ihr Schaubild sei K. Bestimme den Verlauf von K im Unendlichen. Zeichne K in ein geeignetes Koordinatensystem und markiere das globale Verhalten.| Zunächst erkennen wir bei dieser unecht gebrochen-rationalen Funktion, dass sie eine Polstelle bei x0=1 besitzt. Wie in Beispiel 4 dargelegt, müssen wir für die Bestimmung des globalen Verhaltens eine Polynomdivision durchführen. |
|
 |
|
| Wir erhalten einen Rest 5 und können als Ergebnis schreiben | |
 . Der geänderte Funktionsterm lautet: |
|
 |
|
Mit läuft der Restterm  gegen 0. Der Grenzwert der Funktion lautet: |
|
 |
|
Die Kurve nähert sich im Unendlichen einer Näherungskurve, dem Graphen der Funktion f mit Funktionsgleichung  |
|
 |
|
5. Merksätze Globalverhalten gebrochen-rationale Funktionen
Merksatz allgemein Globalverhalten gebrochen-rational
| Das globale Verhalten von gebrochen-rationalen Funktionen ist asymptotisch. Echt gebrochen-rationale Funktionen haben stets eine waagrechte Asymptote, also entweder die x–Achse selbst oder eine Parallele zur x–Achse. Zur Feststellung der Gleichung dieser Asymptote muss der Funktionsterm zunächst entweder durch Ausklammern der kleinsten Potenz von x im Zähler oder durch Kürzen des Funktionsterms mit der kleinsten Potenz von x im Zähler verändert werden. Unecht gebrochen-rationale Funktionen verlaufen an den Systemgrenzen ins Unendliche. Sie verfügen in der Regel jedoch entweder über eine Gerade (schiefe Asymptote) oder über eine Kurve (Näherungskurve). Zur Feststellung der Gleichung der schiefen Asymptote bzw. Näherungskurve muss der Funktionsterm zunächst durch Polynomdivision mit Restanteil verändert werden. |
|||
Schnellmerksatz Globalverhalten gebrochen-rational
Sei  |
|||
| die gebrochen-rationale Funktion, dann gilt: | |||
| Fall 1: | n < m Die höchste Potenz des Zählers (n) ist kleiner als die höchste Potenz des Nenners (m): Gleichung der Asymptoten lautet y = c. |
||
| Fall 2: | n = m Die höchste Potenz des Zählers (n) ist gleich der höchsten Potenz des Nenners (m): Gleichung der Asymptoten lautet  |
||
| Fall 3: | n = m+1 Die höchste Potenz des Zählers (n) ist um 1 größer als die höchste Potenz des Nenners (m): Die Gleichung der Asymptoten muss per Polynomdivision ermittelt werden, der Graph der Funktion hat eine schiefe Asymptote. |
||
| Fall 4: | n > m+1 Die höchste Potenz des Zählers (n) ist um mehr als 1 größer als die höchste Potenz des Nenners (m): Die Gleichung der Asymptoten muss per Polynomdivision ermittelt werden, der Graph der Funktion hat eine Näherungskurve. |
||
| Du befindest dich hier: |
| Globalverhalten gebrochen-rationaler Funktionen |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 07. Oktober 2022 07. Oktober 2022
