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Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen

Wir unterscheiden zwei Arten von Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, nämlich zum einen den Schnittpunkt mit der y-Achse und zum anderen den bzw. die Schnittpunkte mit der x-Achse, Nullstellen genannt.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse

Kennen wir die Nullstellen einer Funktion, so kann uns dies für das Zeichnen des Graphen oder für die Bearbeitung einer Anwendungsaufgabe nützlich sein.
Wir haben die Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen ersten Grades (Geraden) bzw. zweiten Grades (Parabeln) bereits kennengelernt und geübt.
Bei einer Geradengleichung mit z. B. g(x)=2x-8 mussten wir die Gleichung 2x-8=0 lösen, womit wir die Nullstelle x=4 erhielten.
Bei einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades (Parabel) mit z. B. p(x)=x²+x-6 erhielten wir nach Auflösung mit der Mitternachtsformel der Gleichung x²+x-6=0 die beiden Nullstellen x₁=-3 und x₂=2.
Die Nullstellen von Funktionen höheren Grades können wir in der Regel nicht mit einer allgemein gültigen Formel – wie etwa der Mitternachtsformel – lösen. Wir können aber in einigen Fällen durch Umformungen ein „schwieriges“ Problem in mehrere „leichte“ Probleme überführen.

Nullstellenverfahren

Nullstellen durch Wurzelziehen
Lösung

Nullstellen durch Wurzelziehen

In einfachen Fällen, wenn im Funktionsterm nur eine einzige Potenz von vorkommt, lassen sich Nullstellen durch Wurzelziehen berechnen.
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=8x⁴-50. Berechne die Nullstellen.

Linearfaktorzerlegung
Lösung

Linearfaktorzerlegung

Haben wir einen Funktionsterm, der in Linearfaktoren zerlegt ist wie z. B.
f(x)=2(x+1)(x-1)(x-5), lassen sich die Nullstellen aus dieser Darstellung ablesen.
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=2(x+1)(x-1)(x-5). Ermittle die Nullstellen.

Potenzen von x ausklammern
Lösung

Potenzen von x ausklammern

In manchen Fällen kann man eine Potenz von x ausklammern wie z. B. bei
f(x)=x⁴-3x³-10x².
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=x⁵-3x⁴-10x³. Ermittle die Nullstellen.

Nullstellen durch Substitution
Lösung

Nullstellen durch Substitution

Substitution ist eine weitere Methode zur Nullstellenbestimmg wie z. B. bei f(x)=x⁴-9x²+8.
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=x⁴-9x²+8. Ermittle die Nullstellen.

Nullstellen durch Polynomdivision
Lösung

Nullstellen durch Polynomdivision

Die Polynomdivision dient der Zerlegung einer ganzrationalen Funktionsgleichung in einzelne Faktoren, über die wir dann mittels der bislang aufgeführten Methoden die Nullstellen ermitteln können wie z.B. für f(x)=x³-3x²-10x+24.
Gegeben sei die Funktion f mit f(x)=x³-3x²-10x+24. Eine bekannte Nullstelle ist x₁=2. Ermittle die weiteren Nullstellen.

Lösung

f(x)=x³-3x²-10x+24		Nullstellen über f(x)=0
x³-3x²-10x+24=0
Die folgenden Lösungsschritte sind nur eine Übersicht. Genaue Beschreibung der Regel zur Polynomdivision findest du im Kapitel Gleichungen.

Gegeben war eine Nullstelle mit x₁=2. Aus diesem Grund erfolgt die Division mit (x-2).
Der erste Summand des zu teilenden Polynoms (x³) wird durch den ersten Summanden des Teilers (x) dividiert. Das Ergebnis (x²) wird mit dem Teiler (x-2) multipliziert und von dem zu teilenden Polynom subtrahiert.
Mit dem Ergebnis der Subtraktion -x²-10x+24 verfahren wir in gleicher Weise und führen dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist.
Nach Durchführung der Division erhalten wir als Ergebnis eine quadratische Gleichung, deren weiteren Lösungen wir jetzt mit bekannten Methoden finden.
x²-x-12=0
		pq-Formel
x₂=0,5+3,5=4; x₃=0,5-3,5=-3

: Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller; Zuletzt aktualisiert: 28. Mai 2019 28. Mai 2019


	Ganzrationale Funktionen vom Grad n haben höchstens n Nullstellen. Deren Nullstellen kann man, je nachdem in welcher Form der Funktionsterm gegeben ist, mit folgenden Verfahren bestimmen:
	- durch Wurzelziehen	z.B. f(x)=x²-16
	- durch Ablesen bei Linarfaktozerlegung	z.B. f(x)=2(x+3)(x-1)(x-4)
	- durch Ausklammern von Potenzen von x	z.B. f(x)=x⁵-5x²=x²(x³-5)
	- durch Substitution	z.B. f(x)=x⁴-3x²+2 =z²-3z+2 mit z=x²
	- durch Polynomdivision	z.B. f(x)=x³-5x²-2x+24 =(x+2)(x²-7x+12)

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

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