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Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen |
Die Ganzrationale Funktion f(x)=an⋅xn+an-1⋅xn-1+an-2⋅xn-2+...+a1⋅x+a0
| Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen sind zusammengesetzte Funktionen, deren einzelne Glieder wiederum aus Potenzfunktionen mit ganzzahlig positivem Exponenten bestehen. Die allgemeinen Form einer Ganzrationalen Funktion lautet: |
| f(x)=an⋅xn+an-1⋅xn-1+an-2⋅xn-2+...+a1⋅x+a0. |
| n ist höchste Potenz, n-1 ist die um 1 verminderte höchste Potenz, n-2 die um 2 verminderte höchste Potenz usw bis zur Potenz 1 bei a1x. Am Ende der Funktionsgleichung steht dann das absolute Glied a0. Die a-Werte in der Gleichung werden als Koeffizienten bezeichnet. Alle a sind Element von  . Die Indices von an, an-1, an-2 usw. verweisen auf die Teilfunktion mit dem entsprechenden n als Exponent. |
Klassifizierung ganzrationaler Funktionen, Definitionsmenge
| Entsprechend der höchsten Potenz n von x wird den ganzrationalen Funktionen ein Grad zugesprochen. Ist n=3, so handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Ist n=4, so handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Ganzrationale Funktionen werden auch Polynome oder (seltener für Funktionen mit einem Grad größer 2) Parabeln genannt. Der Nullfunktion f mit f(x)=0 (für alle reellen Werte von x) wird kein Grad zugeordnet. Die maximale Definitionsmenge einer ganzrationalen Funktion ist  . |
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Merksatz Definition ganzrationaler Funktionen
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Auswirkung des Exponenten n
| Je nachdem ob die höchste Potenz n der Funktionsgleichung gerade oder ungerade ist, hat der Graph einer ganzrationalen Funktion unterschiedlichen Verlauf. |
Auswirkung gerader Werte von n
 Wir betrachten zunächst eine Funktion mit n=4.Der Graph der rechts dargestellten Funktion hat die Funktionsgleichung  . Gemäß der Klassifizierung von zuvor handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 4. Grades.Wir wollen uns nun anhand des Funktionsterms ein ungefähres Bild vom Verlauf des Graphen der ganzrationalen Funktion machen. Dazu untersuchen wir, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine Werte von x bzw. für Werte von x nahe Null verhält. Eine Auswahl entsprechender Werte findet sich in nachfolgender Tabelle. |
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| x | -1000000 | -100000 | -1000 | 0 | 1000 | 100000 | 1000000 |
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5⋅1023 | 5⋅1019 | 5⋅1011 | 2 | 5⋅1011 | 5⋅1019 | 5⋅1023 |
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5⋅1023 | 5⋅1019 | 5⋅1011 | 2 | 5⋅1011 | 5⋅1019 | 5⋅1023 |
| Die zweite Tabellenzeile enthält die komplette Funktionsgleichung währen in der dritten Tabellenzeile nur das erste Glied der Funktionsgleichung berücksichtigt ist. Die Berechnung der Funktionswerte zeigt sowohl für die komplette Funktions-gleichung als auch für die Rumpfgleichung dieselben Werte, was ja auch aus obiger Grafik hervorgeht, der Graph der Funktion verläuft von links oben nach rechts oben. Betrachten wir jetzt das Verhalten von f nahe Null über die nachfolgend aufgeführte Tabelle: |
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| x | -0,1 | -0,05 | -0,01 | 0 | 0,01 | 0,05 | 0,1 |
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1,98 | 1,995 | 1,9998 | 2 | 1,9998 | 1,995 | 1,98 |
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1,98 | 1,995 | 1,9998 | 2 | 1,9998 | 1,995 | 1,98 |
| Die zweite Tabellenzeile enthält die komplette Funktionsgleichung während in der dritten Tabellenzeile nur die letzten beiden Glieder der Funktionsgleichung berücksichtigt sind. Die Berechnung der Funktionswerte zeigt sowohl für die komplette Funktionsgleichung als auch für die Rumpfgleichung dieselben Werte. Das Verhalten nahe Null wird somit nur durch die letzten beiden Glieder beeinflusst. | |||||||
Auswirkung ungerader Werte von n
 Wir betrachten nun eine Funktion mit n=3.Der Graph der rechts dargestellten Funktion hat die Funktionsgleichung f(x)=x3-0,2x2-1,5x+1. Gemäß der Klassifizierung von zuvor handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Wir machen uns wieder anhand des Funktionsterms ein ungefähres Bild vom Verlauf des Graphen dieser ganzrationalen Funktion. |
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| x | -1000000 | -100000 | -1000 | 0 | 1000 | 100000 | 1000000 |
| f(x)=x3-0,2x2-1,5x+1 | -1018 | -1015 | -109 | 1 | 109 | 1015 | 1018 |
| f(x)=x3 | -1018 | -1015 | -109 | 1 | 109 | 1015 | 1018 |
| Die zweite Tabellenzeile enthält die komplette Funktionsgleichung während in der dritten Tabellenzeile nur das erste Glied der Funktionsgleichung berücksichtigt ist. Die Berechnung der Funktionswerte zeigt sowohl für die komplette Funktions-gleichung als auch für die Rumpfgleichung dieselben Werte. Allerdings im Gegensatz zu geraden Werten von n stellen wir fest, dass, je kleiner der x-Wert wird, umso kleiner wird der f(x)-Wert. Und je größer x wird, umso größer wird der f(x)-Wert. Der Graph der Funktion verläuft von links unten nach rechts oben. Betrachten wir jetzt das Verhalten von f nahe Null über die nachfolgend aufgeführte Tabelle: |
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| x | -0,1 | -0,05 | -0,01 | 0 | 0,01 | 0,05 | 0,1 |
| f(x)=x3-0,2x2-1,5x+1 | 1,147 | 1,074 | 1,015 | 1 | 0,985 | 0,925 | 0,849 |
| f(x)=-1,5x+1 | 1,15 | 1,075 | 1,015 | 1 | 0,985 | 0,925 | 0,85 |
 Die zweite Tabellenzeile enthält die komplette Funktionsgleichung während in der dritten Tabellenzeile nur die letzten beiden Glieder der Funktionsgleichung berücksichtigt sind. Die Berechnung der Funktionswerte zeigt sowohl für die komplette Funktionsgleichung als auch für die Rumpfgleichung ungefähr dieselben Werte. Das Verhalten nahe Null wird somit nur durch die letzten beiden Glieder beeinflusst, wie dies auch aus nebenstehender Grafik hervorgeht. |
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| Fazit: Wir haben festgestellt, dass das Verhalten ganzrationaler Funktionen für sehr kleine bzw. sehr große Werte von x nur von der höchsten Potenz von x der Funktionsgleichung beeinflusst wird, alle weiteren Glieder der Funktionsgleichung sind nicht von Interesse. Dagegen ist beim Verhalten nahe Null nur die kleinste Potenz von x zuzüglich einem eventuell vorhandenen absoluten Glied zuständig. Dies führt uns zu nachfolgendem |
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Merksatz Verhalten ganzrationale Funktionen
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| Titel Aufgabenblatt | Level / Blattnr. |  |
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| Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 26. September 2022 26. September 2022
