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Ganzrationale Funktionen der Funktionsklassen |
Symmetrieverhalten
| Neben dem Verhalten für x→±∞ und für x nahe 0 haben ganzrationale Funktionen noch weitere Eigenschaften, die das Zeichnen ihrer Graphen erleichtern. Hier behandeln wir nun zwei grundlegende Symmetrieeigenschaften, nämlich die Achsensymmetrie (Symmetrie zu y-Achse) und die Punktsymmetrie (Symmetrie zum Ursprung). |
Achsensymmetrie
Gegeben sei die ganzrationale Funktion f mit  .Die rechte Animation zeigt den Graphen von f. Betrachten wir den Punkt P sowie dessen „Spiegelpunkt“ P'. Die Animation kann durch einen Klick auf "Start" gestartet werden, Klick auf "Pause" hält die Animation an, Klick auf "Weiter" setzt sie fort und ein Klick auf "Stop" zeigt wieder die Ausgangsstellung. |
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| Wir stellen fest, dass die jeweiligen y-Werte identisch sind, die x-Werte aber die jeweiligen Spiegel an der y-Achse. Wir können hieraus den Merksatz für die Achsensymmetrie herleiten, nämlich
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ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle 
gilt:Punktsymmetrie
Gegeben sei die ganzrationale Funktion f mit  .Die Animation rechts zeigt den Graphen von f. Betrachten wir den Punkt P sowie dessen „Spiegelpunkt“ P'. Die Animation kann durch einen Klick auf "Start" gestartet werden, Klick auf "Pause" hält die Animation an, Klick auf "Weiter" setzt sie fort und ein Klick auf "Stop" zeigt wieder die Ausgangsstellung. |
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| Wir stellen fest, dass die y-Werte die jeweiligen Spiegel an der x-Achse, die x-Werte aber die jeweiligen Spiegel an der y-Achse. Wir können hieraus den Merksatz für die Punktsymmetrie herleiten, nämlich
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| Hinweis: Im Schulbetrieb wird eigentlich gelehrt, dass f(-x)=-f(x) ist. Die hier aufgeführte Regel mit -f(-x)=f(x) ist identisch, denn die Multiplikation von f(-x)=-f(x) mit -1 führt ja zu -f(-x)=f(x). Letztere Formel führt jedoch zu einfacheren Berechnungen, wenn Symmetrie rechnerisch nachgewiesen werden soll. |
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| Aus den aufgeführten Beispielen erkennen wir: Ganzrationale Funktionen sind nur dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn alle Potenzen von x geradzahlig sind. Ganzrationale Funktionen sind nur dann punktsymmetrisch, wenn alle Potenzen von x ungeradzahlig sind und das absolute Glied a0 fehlt. Achsensymmetrien zu anderen Achsen bzw. Punktsymmetrien zu anderen Punkten findest du im Kapitel |
| „Graphen und Funktionen analysieren“ |
| hier im Portal. |
- Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller
- Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
